Với chuỗi lời khai buộc tội nhau kiểu "A nói B nói dối, B nói C nói dối", hãy coi mỗi câu "X nói dối" là một phép đổi dấu: nếu người nói thật thì X dối, nếu người nói dối thì X thật. Chuỗi hở luôn giải được bằng cách giả sử người cuối chuỗi rồi lần ngược lên; còn chuỗi khép thành vòng thì vòng có số lời "nói dối" là số lẻ sẽ vô nghiệm, số chẵn sẽ có đúng hai nghiệm — cần thêm một lời khai khác để chốt.
Lời khai về lời khai: cách đọc cho đúng
Ở các dạng trước, lời khai nói về sự việc: "Bình làm vỡ kính". Ở dạng này, lời khai nói về độ tin của lời khai khác: "Khải nói dối", "Lâm nói thật". Khi đó, một kịch bản không còn là "ai làm" mà là một cách gán Đúng/Sai cho từng người. Kịch bản hợp lệ khi với mỗi người, giá trị gán cho người đó trùng với giá trị thật của câu người đó nói.
Ở đây mỗi người chỉ nói một câu trong một sự việc, nên "nói thật" nghĩa là "câu vừa nói là đúng" — không phải người đó có bản chất luôn thật. Dạng người có loại cố định trên đảo hiệp sĩ là một danh mục khác.
Quy ước dịch:
- "X nói dối" đúng ⇔ X nói sai.
- "X nói thật" đúng ⇔ X nói đúng.
- "X và Y đều nói dối" đúng ⇔ cả hai cùng sai; chỉ cần một người đúng là câu này sai.
Câu đố 1: chuỗi ba người có một mắt xích "và"
Câu đố tự đặt để minh hoạ. Ba bạn trực nhật Hiếu, Khải, Lâm cãi nhau xem ai quên khoá cửa lớp. Trước khi hỏi chuyện cái cửa, cô giáo muốn biết lời ai đáng tin. Cô nghe được ba câu:
- Hiếu: "Khải nói dối."
- Khải: "Lâm nói dối."
- Lâm: "Hiếu và Khải đều nói dối."
Ai nói thật, ai nói dối?
Lời giải từng bước
- Giả sử Lâm nói thật. Thì Hiếu và Khải đều dối. Khải dối nghĩa là câu "Lâm nói dối" sai — Lâm thật, khớp. Nhưng Hiếu dối nghĩa là câu "Khải nói dối" sai, tức Khải nói thật — trái với "Khải dối". Mâu thuẫn.
- Vậy Lâm nói dối. Câu của Khải "Lâm nói dối" đúng, nên Khải nói thật. Câu của Hiếu "Khải nói dối" sai, nên Hiếu nói dối.
- Kiểm lời Lâm: "Hiếu và Khải đều nói dối" — Khải thật nên câu sai; Lâm dối, khớp.
| Hiếu | Khải | Lâm | Câu Hiếu thực ra | Câu Khải thực ra | Câu Lâm thực ra | Kết luận |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Thật | Thật | Thật | Sai | — | — | Loại (Hiếu) |
| Thật | Thật | Dối | Sai | — | — | Loại (Hiếu) |
| Thật | Dối | Thật | Đúng | Sai | Sai | Loại (Lâm) |
| Thật | Dối | Dối | Đúng | Đúng | — | Loại (Khải) |
| Dối | Thật | Thật | Sai | Sai | — | Loại (Khải) |
| Dối | Thật | Dối | Sai | Đúng | Sai | Khả thi |
| Dối | Dối | Thật | Đúng | — | — | Loại (Hiếu) |
| Dối | Dối | Dối | Đúng | — | — | Loại (Hiếu) |
Dấu "—" nghĩa là dòng đã bị loại ở cột trước, không cần xét tiếp. Đáp án: chỉ Khải nói thật; Hiếu và Lâm nói dối. Một dòng khả thi duy nhất trong tám dòng.
Vòng khép kín: quy tắc đổi dấu
Bây giờ cho chuỗi khép lại thành vòng. Ba bạn đứng thành vòng: A nói "B nói dối", B nói "C nói dối", C nói "A nói dối".
Lần theo: nếu A thật thì B dối; B dối thì câu "C nói dối" sai, C thật; C thật thì "A nói dối" đúng — A dối. Giả sử A thật lại dẫn tới A dối. Thử A dối thì đi một vòng ra A thật. Không có cách gán nào hợp lệ: đề vô nghiệm. (Kiểu tự quay về phủ định chính mình này họ hàng với nghịch lý kẻ nói dối, vốn được bàn riêng ở chỗ khác.)
Nhìn theo dấu: mỗi câu "nói dối" đổi dấu một lần, mỗi câu "nói thật" giữ dấu. Đi hết vòng phải trở về đúng giá trị ban đầu, nên số lần đổi dấu phải chẵn.
| Vòng gồm | Số câu "nói dối" trong vòng | Số cách gán hợp lệ |
|---|---|---|
| 3 câu "nói dối" | 3 (lẻ) | 0 — vô nghiệm |
| 4 câu "nói dối" | 4 (chẵn) | 2 — xen kẽ Thật/Dối, bắt đầu từ ai cũng được |
| 3 câu "nói thật" | 0 (chẵn) | 2 — tất cả thật hoặc tất cả dối |
| 2 câu "nói dối" + 1 câu "nói thật" | 2 (chẵn) | 2 |
Quy tắc này chỉ áp cho vòng mà mỗi câu nói về đúng một người. Khi có câu dạng "X và Y đều nói dối" hay câu đếm số người, phải giải bằng giả sử như thường.
Câu đố 2: vòng bốn người và lời khai chốt
Câu đố tự đặt. Bốn bạn trong đội cờ vua của trường — Mai, Ngọc, Oanh, Phượng — tranh luận ai đã để quên bàn cờ ở thư viện. Thầy phụ trách ghi lại bốn câu và hỏi: ai nói thật, ai nói dối?
- Mai: "Ngọc nói dối."
- Ngọc: "Oanh nói dối."
- Oanh: "Phượng nói dối."
- Phượng: "Trong bốn đứa mình có đúng hai người nói thật."
Lời giải từng bước
- Ba câu đầu là chuỗi đổi dấu: biết Phượng là gì thì biết hết. Phượng thật ⇒ Oanh dối ⇒ Ngọc thật ⇒ Mai dối. Phượng dối ⇒ Oanh thật ⇒ Ngọc dối ⇒ Mai thật.
- Nhánh Phượng thật: người nói thật là Ngọc và Phượng — đúng hai người. Câu của Phượng đúng, khớp với Phượng thật.
- Nhánh Phượng dối: người nói thật là Mai và Oanh — cũng đúng hai người. Câu của Phượng lại đúng, nhưng ta đang giả sử Phượng dối. Mâu thuẫn.
| Phượng | Oanh | Ngọc | Mai | Số người thật | Câu Phượng thực ra | Kết luận |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Thật | Dối | Thật | Dối | 2 | Đúng | Khả thi |
| Dối | Thật | Dối | Thật | 2 | Đúng | Loại |
Mười bốn cách gán còn lại đã bị ba câu đầu loại (chúng phá chuỗi đổi dấu). Đáp án: Ngọc và Phượng nói thật; Mai và Oanh nói dối. Để ý mẹo dựng đề: nếu câu chốt của Phượng đúng ở cả hai nhánh thì nhánh "Phượng dối" tự chết. Câu chốt kiểu "Mai nói dối và Ngọc nói thật" thì không chốt được, vì nó đúng ở nhánh này, sai ở nhánh kia — cả hai nhánh đều sống.
Câu đố 3: câu đếm số người nói thật
Câu đố tự đặt. Bốn bạn Quý, Rạng, Sáu, Tín khai về chuyện chiếc xe đạp ai dựng chắn lối đi. Bác bảo vệ chỉ cần biết lời ai tin được:
- Quý: "Rạng nói dối."
- Rạng: "Sáu và Tín cùng nói thật."
- Sáu: "Quý nói dối."
- Tín: "Số người nói thật trong bốn đứa mình là số lẻ."
Lời giải từng bước
- Quý nói Rạng dối, Sáu nói Quý dối. Hai lần đổi dấu: Sáu cùng giá trị với Rạng.
- Nhánh Rạng thật. Sáu thật; câu của Rạng đúng nên Tín cũng thật; Quý dối. Số người thật: Rạng, Sáu, Tín = 3, số lẻ. Câu của Tín đúng — khớp.
- Nhánh Rạng dối. Sáu dối, Quý thật. Câu của Rạng sai — đúng là sai vì Sáu dối, không phụ thuộc Tín. Xét Tín: nếu Tín thật thì số người thật là 2 (Quý, Tín), số chẵn, câu Tín sai — mâu thuẫn. Nếu Tín dối thì số người thật là 1, số lẻ, câu Tín đúng — mâu thuẫn. Nhánh này chết.
| Kịch bản | Quý | Rạng | Sáu | Tín | Số người thật | Kết luận |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Rạng thật | Dối | Thật | Thật | Thật | 3 | Khả thi |
| Rạng dối, Tín thật | Thật | Dối | Dối | Thật | 2 | Loại (câu Tín sai) |
| Rạng dối, Tín dối | Thật | Dối | Dối | Dối | 1 | Loại (câu Tín đúng) |
Đáp án: Rạng, Sáu, Tín nói thật; Quý nói dối. Câu đếm như của Tín là câu "tự nói về cả nhóm, có mình trong đó", nên khi tính phải nhớ đếm luôn người nói.
Tự luyện
Bài 1. A: "B nói thật." B: "A nói dối." Có cách gán nào không?
Đáp án: Không. Vòng hai câu có một câu "nói dối" — số lẻ — nên vô nghiệm.
Bài 2. A: "B nói dối." B: "A và C cùng nói dối." C: "A nói dối." Ai thật?
Đáp án: Chỉ A thật. Nếu A dối thì B thật, nên C dối; nhưng câu của C "A nói dối" khi đó đúng — mâu thuẫn. Vậy A thật, B dối; C nói "A nói dối" là sai nên C dối; câu của B sai, khớp.
Bài 3. A: "B nói thật." B: "C nói thật." C: "A nói thật." Đề cho mấy đáp án?
Đáp án: Hai: cả ba cùng thật, hoặc cả ba cùng dối. Vòng không có câu "nói dối" nào nên không chốt được.
Dùng vào đâu
Quy tắc đổi dấu quanh vòng là một ý rất "toán": nó giống bài tô hai màu cho một vòng tròn — vòng lẻ không tô được, vòng chẵn tô được đúng hai cách. Người học đồ thị sẽ gặp lại nó trong khái niệm đồ thị hai phía. Với người đọc thường, bài học là: khi lời khai chỉ dựa vào nhau mà không neo vào một sự thật bên ngoài, ta hoặc không kết luận được gì, hoặc rơi vào vòng tự mâu thuẫn. Muốn chốt, cần ít nhất một lời khai nói về điều kiểm được.
Câu hỏi thường gặp
A nói B nói dối, B nói C nói dối thì giải thế nào?
Giả sử người cuối chuỗi thật hoặc dối, rồi lần ngược: mỗi câu "X nói dối" đảo giá trị. Đến người đầu chuỗi, đối chiếu với lời khai còn lại để loại nhánh mâu thuẫn.
Vì sao vòng ba người buộc tội nhau lại vô nghiệm?
Mỗi câu "nói dối" đảo giá trị một lần. Đi hết vòng ba câu là đảo ba lần, nên giả sử A thật sẽ quay về A dối và ngược lại. Không cách gán nào giữ được nhất quán.
Vòng chẵn có bao nhiêu đáp án?
Vòng chỉ gồm các câu "X nói dối" với số người chẵn có đúng hai cách gán: xen kẽ thật – dối, bắt đầu bằng thật hoặc bằng dối. Cần thêm một lời khai khác để chọn một trong hai.
Câu "X và Y đều nói dối" khi nào thì sai?
Chỉ cần một trong hai người nói thật là câu này sai. Nó chỉ đúng khi cả X và Y đều nói sai.
Dạng này khác câu đố đảo hiệp sĩ thế nào?
Ở đây mỗi người chỉ nói một câu về một sự việc, "thật" hay "dối" chỉ áp cho câu đó. Trên đảo hiệp sĩ, mỗi người có loại cố định chi phối mọi câu họ nói.
