Biện luận phương trình theo tham số
Đưa về dạng ax = b rồi xét đủ ba trường hợp: a ≠ 0 có nghiệm duy nhất x = b/a; a = 0, b = 0 vô số nghiệm; a = 0, b ≠ 0 vô nghiệm. Kèm ví dụ giải và thử lại.
Biện luận phương trình theo tham số
Xét hệ số a = 0 trước vì phương trình thành bậc nhất; với a ≠ 0 mới xét Δ: dương có hai nghiệm, bằng 0 có nghiệm kép, âm vô nghiệm. Hai ví dụ, bảng kết luận, lỗ
Biện luận phương trình theo tham số
Hai nghiệm trái dấu khi P < 0 (a·c < 0); hai nghiệm dương phân biệt khi Δ > 0, S > 0, P > 0; hai nghiệm âm khi Δ > 0, S < 0, P > 0. Ví dụ, bảng dấu theo m và lỗ
Biện luận phương trình theo tham số
Tính D = ab' − a'b, Dx, Dy: D ≠ 0 thì nghiệm duy nhất (Dx/D; Dy/D); D = 0 mà Dx hoặc Dy khác 0 thì vô nghiệm; cả ba bằng 0 thì thường vô số nghiệm, có ngoại lệ.
Biện luận phương trình theo tham số
Đặt điều kiện mẫu khác 0, khử mẫu, biện luận phương trình đa thức rồi loại nghiệm làm mẫu bằng 0. Có giá trị m mà nghiệm duy nhất, kể cả nghiệm kép, rơi đúng và
Biện luận phương trình theo tham số
Đặt t = x² ≥ 0: mỗi t dương cho hai nghiệm x, t = 0 cho một nghiệm, t âm bị loại. Bốn nghiệm khi phương trình theo t có hai nghiệm dương phân biệt; ba khi có t
Biện luận phương trình theo tham số
√f(x) = g(x) tương đương g(x) ≥ 0 và f(x) = g(x)²; không cần thêm f(x) ≥ 0. Giữ điều kiện g(x) ≥ 0 khi bình phương là loại được mọi nghiệm thừa. Ba ví dụ có tha
Biện luận phương trình theo tham số
Tam thức ax² + bx + c dương với mọi x khi a > 0 và Δ < 0, không âm khi a > 0 và Δ ≤ 0. Nếu a chứa m phải xét a = 0: hằng số dương vẫn thoả. Ba ví dụ và bảng tra
Biện luận phương trình theo tham số
sin x = m có nghiệm khi −1 ≤ m ≤ 1; a sin x + b cos x = c có nghiệm khi a² + b² ≥ c². Bốn ví dụ có m ở hệ số, x giới hạn trong đoạn và đặt t = sin x, kèm thử lạ
Biện luận bằng hàm số & đồ thị
Đưa phương trình về f(x) = m, lập bảng biến thiên rồi đếm giao điểm với đường y = m; số nghiệm chỉ đổi khi m đi qua cực trị, đầu mút hoặc giới hạn.
Biện luận bằng hàm số & đồ thị
Tính giá trị tại đầu mút và điểm tới hạn mà giữ nguyên m; khi đỉnh hay chiều biến thiên đổi theo m thì chia trường hợp và đối chiếu từng nghiệm m.
