Biện luận số nghiệm bằng đồ thị là đưa phương trình về dạng f(x) = m, vẽ (hoặc lập bảng biến thiên) đồ thị y = f(x), rồi cho đường thẳng nằm ngang y = m trượt từ dưới lên trên: số giao điểm của đường thẳng với đồ thị chính là số nghiệm. Các mốc cần nhớ là giá trị cực đại, cực tiểu và giới hạn ở hai đầu; chỉ tại những mốc ấy số giao điểm mới thay đổi. Bài này đi từng bước với hàm bậc ba, hàm trùng phương và trường hợp chỉ đếm nghiệm trên một đoạn.
Vì sao số nghiệm lại bằng số giao điểm
Phương trình f(x) = m có nghiệm x₀ nghĩa là điểm (x₀; m) vừa nằm trên đồ thị y = f(x), vừa nằm trên đường thẳng y = m. Ngược lại, mỗi giao điểm của hai đường cho đúng một hoành độ x₀ thoả phương trình. Vậy có một tương ứng một – một giữa nghiệm và giao điểm. Đếm nghiệm chuyển thành đếm giao điểm, mà đếm giao điểm thì mắt nhìn được.
Điểm mạnh của cách này: đồ thị y = f(x) không chứa m, nên chỉ cần khảo sát một lần. Tham số m chỉ còn là độ cao của một đường thẳng nằm ngang.
Điều kiện để dùng được: phương trình ban đầu phải biến đổi tương đương về dạng f(x) = m (hoặc f(x) = g(m)), và f(x) phải khảo sát được bằng kiến thức đạo hàm trong chương trình phổ thông.
Phương pháp chung bốn bước
- Đưa về dạng f(x) = m (hoặc f(x) = một biểu thức của m, gọi là k). Ghi rõ tập xác định của x nếu đề giới hạn, ví dụ x ∈ [0; 2].
- Lập bảng biến thiên của f trên đúng miền đó: tính f′(x), tìm nghiệm của f′(x) = 0, tính giá trị cực đại, cực tiểu, giá trị tại hai đầu mút hoặc giới hạn ở vô cực.
- Đặt các mốc lên trục tung theo thứ tự tăng dần. Mỗi khoảng giữa hai mốc liên tiếp và mỗi mốc là một trường hợp riêng.
- Đếm giao điểm cho từng trường hợp, ghi thành bảng kết luận. Nếu đề hỏi theo m mà ta đặt k = biểu thức của m, nhớ dịch ngược điều kiện của k về m.
Mẹo đếm: trên mỗi khoảng mà f đồng biến (hoặc nghịch biến), đường thẳng y = m cắt đồ thị nhiều nhất một lần. Vậy đếm từng khúc đơn điệu, hỏi "độ cao m có nằm trong khoảng giá trị của khúc này không", rồi cộng lại, chú ý điểm chung giữa hai khúc chỉ tính một lần.
Ví dụ 1: phương trình bậc ba x³ − 3x − m = 0
Đề. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x³ − 3x − m = 0.
Bước 1. Chuyển m sang vế phải: x³ − 3x = m. Đặt f(x) = x³ − 3x, xác định trên ℝ.
Bước 2. f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). f′(x) = 0 khi x = −1 hoặc x = 1.
- f(−1) = −1 + 3 = 2 (giá trị cực đại).
- f(1) = 1 − 3 = −2 (giá trị cực tiểu).
- Khi x → −∞ thì f(x) → −∞; khi x → +∞ thì f(x) → +∞.
Hàm đồng biến trên (−∞; −1), nghịch biến trên (−1; 1), đồng biến trên (1; +∞).
Bước 3. Hai mốc trên trục tung là −2 và 2.
Bước 4. Đếm theo ba khúc đơn điệu:
- Khúc 1 (−∞; −1] nhận mọi giá trị từ −∞ tới 2.
- Khúc 2 [−1; 1] nhận mọi giá trị từ 2 xuống −2.
- Khúc 3 [1; +∞) nhận mọi giá trị từ −2 tới +∞.
Với −2 < m < 2: cả ba khúc đều cắt, ba giao điểm ở ba khúc khác nhau, nên có 3 nghiệm. Với m = 2: khúc 1 và khúc 2 chạm nhau đúng tại x = −1 (tính một lần), khúc 3 cho thêm một điểm, nên có 2 nghiệm. Với m > 2: chỉ khúc 3 cắt, 1 nghiệm. Tương tự cho m = −2 và m < −2.
| Giá trị của m | Số giao điểm của y = m với đồ thị | Số nghiệm |
|---|---|---|
| m < −2 | 1 (trên khúc bên trái) | 1 |
| m = −2 | 2 (tiếp xúc tại x = 1 và một điểm bên trái) | 2 |
| −2 < m < 2 | 3 | 3 |
| m = 2 | 2 (tiếp xúc tại x = −1 và một điểm bên phải) | 2 |
| m > 2 | 1 (trên khúc bên phải) | 1 |
Thử lại bằng giá trị cụ thể
m = 0: x³ − 3x = 0 ⇔ x(x² − 3) = 0 ⇔ x = 0, x = √3, x = −√3. Đúng 3 nghiệm, khớp dòng −2 < m < 2.
m = 2: x³ − 3x − 2 = 0. Nhẩm x = −1: −1 + 3 − 2 = 0. Chia ra được x³ − 3x − 2 = (x + 1)²(x − 2). Hai nghiệm phân biệt là −1 và 2, khớp bảng. Nghiệm kép x = −1 chính là chỗ đường thẳng tiếp xúc đỉnh cực đại.
Ví dụ 2: hàm trùng phương và bước "dịch ngược" về m
Đề. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x⁴ − 2x² + 1 − m = 0.
Bước 1. x⁴ − 2x² = m − 1. Đặt f(x) = x⁴ − 2x² và k = m − 1. Ta biện luận theo k trước.
Bước 2. f′(x) = 4x³ − 4x = 4x(x − 1)(x + 1), bằng 0 tại x = −1, 0, 1.
- f(0) = 0 (cực đại).
- f(−1) = f(1) = 1 − 2 = −1 (hai cực tiểu).
- x → ±∞ thì f(x) → +∞.
Đồ thị có hình chữ W, đối xứng qua trục tung. Hai mốc: −1 và 0.
Bước 3–4. Đếm theo k: k < −1 không cắt; k = −1 chạm hai đáy, 2 nghiệm; −1 < k < 0 cắt cả bốn nhánh, 4 nghiệm; k = 0 cắt tại đỉnh x = 0 và hai điểm x = ±√2, 3 nghiệm; k > 0 chỉ cắt hai nhánh ngoài, 2 nghiệm.
Dịch ngược về m bằng m = k + 1:
| Theo k = m − 1 | Theo m | Số nghiệm |
|---|---|---|
| k < −1 | m < 0 | 0 |
| k = −1 | m = 0 | 2 |
| −1 < k < 0 | 0 < m < 1 | 4 |
| k = 0 | m = 1 | 3 |
| k > 0 | m > 1 | 2 |
Thử lại
m = 1/2: x⁴ − 2x² + 1/2 = 0. Đặt t = x² ≥ 0: t² − 2t + 1/2 = 0, Δ′ = 1 − 1/2 = 1/2, t = 1 ± √(1/2) ≈ 1,707 và 0,293, cả hai dương. Mỗi t dương cho hai giá trị x = ±√t, tổng 4 nghiệm. Khớp bảng.
m = 1: x⁴ − 2x² = 0 ⇔ x²(x² − 2) = 0 ⇔ x = 0, x = ±√2: 3 nghiệm. Khớp.
Ví dụ 3: chỉ đếm nghiệm trên một đoạn
Đề thi hay hỏi "có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [0; 2]". Khi đó bảng biến thiên chỉ vẽ trên đoạn ấy, và giá trị tại hai đầu mút trở thành mốc mới.
Đề. Tìm số nghiệm thuộc đoạn [0; 2] của phương trình x³ − 3x = m, theo m.
Trên [0; 2]: f(0) = 0, f(1) = −2, f(2) = 8 − 6 = 2. Hàm giảm từ 0 xuống −2 trên [0; 1], rồi tăng từ −2 lên 2 trên [1; 2]. Các mốc: −2, 0, 2.
| m | Khúc [0; 1] (từ 0 xuống −2) | Khúc [1; 2] (từ −2 lên 2) | Số nghiệm trên [0; 2] |
|---|---|---|---|
| m < −2 | không | không | 0 |
| m = −2 | chung một điểm x = 1 | 1 | |
| −2 < m ≤ 0 | có | có | 2 |
| 0 < m ≤ 2 | không | có | 1 |
| m > 2 | không | không | 0 |
Chú ý dấu "≤ 0": tại m = 0, nghiệm x = 0 là chính đầu mút, vẫn thuộc đoạn, cộng với x = √3 ≈ 1,73 nên có 2 nghiệm. Nếu đề đổi thành khoảng mở (0; 2) thì m = 0 chỉ còn 1 nghiệm. Đó là lý do phải phân biệt đoạn và khoảng.
Thử lại m = 1: phương trình x³ − 3x − 1 = 0 có ba nghiệm thực xấp xỉ −1,53; −0,35 và 1,88. Chỉ 1,88 nằm trong [0; 2], đúng 1 nghiệm như bảng.
Lỗi hay gặp
- Quên dấu bằng tại mốc. Viết "−2 < m < 2 có 3 nghiệm, còn lại 1 nghiệm" là bỏ sót hai trường hợp m = ±2 có 2 nghiệm. Đề hỏi "có đúng hai nghiệm" sẽ chấm sai ngay.
- Biến đổi không tương đương. Chia hai vế cho x mà không xét x = 0, hoặc bình phương hai vế mà không đặt điều kiện, sẽ làm mất hoặc thêm nghiệm. Đồ thị khi ấy là đồ thị của một phương trình khác.
- Quên dịch ngược từ k về m. Ở Ví dụ 2, ghi kết luận "−1 < m < 0 có 4 nghiệm" là lấy điều kiện của k gán nhầm cho m.
- Đếm trùng điểm nối giữa hai khúc. Tại cực trị, hai khúc đơn điệu chung một điểm; đếm cả hai lần sẽ ra thừa một nghiệm.
- Bỏ quên đầu mút khi miền là đoạn. Giá trị tại đầu mút có thể không phải cực trị nhưng vẫn là mốc làm thay đổi số nghiệm, như f(0) = 0 ở Ví dụ 3.
Khi nào không nên dùng đường thẳng y = m
Cách này cần m đứng riêng một vế. Nếu m dính vào x theo kiểu không tách được (ví dụ x³ − mx² + m = 0 mà không chia được gọn), ta có hai lối khác: cô lập tham số sau khi chia cho một biểu thức của x (phải xét riêng chỗ biểu thức bằng 0), hoặc xét đường thẳng xoay quanh một điểm cố định thay vì đường nằm ngang. Lối thứ nhất được bàn kỹ trong bài về phương pháp cô lập tham số của danh mục này.
Dùng vào đâu
- Thi tốt nghiệp THPT và đề đánh giá năng lực: dạng "cho bảng biến thiên, hỏi phương trình f(x) = m có ba nghiệm khi nào" hay "có bao nhiêu giá trị nguyên của m" là dạng quen thuộc trong phần hàm số lớp 12 của chương trình phổ thông. Thuộc bốn bước trên là làm được trong vài phút.
- Đếm số giá trị nguyên: khi đã có bảng kết luận, chỉ việc đếm. Ví dụ với Ví dụ 1, số giá trị nguyên của m để phương trình có ba nghiệm là m ∈ {−1; 0; 1}, tức 3 giá trị.
- Học tiếp: sau bài này nên làm dạng phương trình chứa trị tuyệt đối (lật đồ thị) và dạng đường thẳng không nằm ngang cắt đồ thị bậc ba. Tài liệu chuẩn là phần ứng dụng đạo hàm trong sách giáo khoa Toán 12.
Câu hỏi thường gặp
Biện luận số nghiệm bằng đồ thị là gì?
Là đưa phương trình về dạng f(x) = m rồi đếm số giao điểm giữa đồ thị y = f(x) và đường thẳng nằm ngang y = m. Mỗi giao điểm ứng với đúng một nghiệm. Số giao điểm chỉ thay đổi khi m đi qua giá trị cực trị, giá trị đầu mút hoặc giới hạn.
Phương trình bậc ba có ba nghiệm phân biệt khi nào?
Với dạng f(x) = m, khi f có cực đại và cực tiểu thì phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m nằm hẳn giữa giá trị cực tiểu và giá trị cực đại. Ví dụ x³ − 3x = m có ba nghiệm khi −2 < m < 2.
Vì sao tại giá trị cực trị lại mất một nghiệm?
Tại đó đường thẳng y = m tiếp xúc với đồ thị ở đỉnh hoặc đáy. Hai giao điểm hai bên dồn về một điểm, phương trình có nghiệm kép. Ví dụ x³ − 3x − 2 = (x + 1)²(x − 2) chỉ có hai nghiệm phân biệt.
Đếm nghiệm trên đoạn khác đếm trên ℝ thế nào?
Trên đoạn, chỉ lập bảng biến thiên trong đoạn đó và thêm giá trị tại hai đầu mút làm mốc. Phải để ý dấu bằng: đầu mút thuộc đoạn nhưng không thuộc khoảng mở, nên cùng một m có thể ra số nghiệm khác nhau.
