Vì sao trên đảo hiệp sĩ không ai nói được câu mình là kẻ nói dối

Trên đảo hiệp sĩ và kẻ nói dối, không ai nói được câu «Mình là kẻ nói dối». Nếu hiệp sĩ nói, câu đó sai, nghĩa là hiệp sĩ vừa nói sai. Nếu kẻ nói dối nói, câu đó đúng, nghĩa là kẻ nói dối vừa nói đúng. Cả hai đều phạm luật đảo, nên hễ ai kể rằng có người trên đảo đã nói câu ấy thì chính người kể đang nói sai.

Nghe thì như mẹo vặt, nhưng chính chi tiết này mở khoá cả một họ câu đố: những câu người nói tự nhắc đến loại của mình, ghép thêm "hoặc", "và". Bài dưới đây đi từ lập luận gốc, qua ba câu đố tự đặt có bảng kiểm đủ kịch bản, tới một quy tắc rút gọn dùng được ngay.

Hai nhánh, hai ngõ cụt

Nhắc lại luật: hiệp sĩ chỉ nói câu đúng, kẻ nói dối chỉ nói câu sai, ngoài hai loại đó không có ai. Giờ đặt câu «Mình là kẻ nói dối» vào miệng từng loại người.

Không còn dòng nào khả thi. Vậy trên đảo, câu này không thể được nói ra. Điều đó không có nghĩa câu ấy vô nghĩa; nó chỉ có nghĩa là luật đảo cấm nó, giống như luật cờ tướng cấm tướng ra khỏi cung.

Không phải nghịch lý kẻ nói dối

Nhiều người nghe câu này liền nghĩ tới nghịch lý kẻ nói dối thời Hy Lạp cổ, kiểu "câu này là câu sai". Hai chuyện khác nhau. Nghịch lý kia là một câu dường như không thể đúng mà cũng không thể sai; còn trên đảo, câu «mình là kẻ nói dối» vẫn có giá trị đúng/sai rõ ràng khi biết ai nói, chỉ là không ai được phép nói nó. Phần nghịch lý thuộc chủ đề riêng, ở đây chỉ nhắc một câu cho khỏi nhầm.

Câu ngược lại: "mình là hiệp sĩ" ai cũng nói được

Hãy làm bảng tương tự với câu «Mình là hiệp sĩ».

Cả hai dòng khớp, nên câu này không cho thêm thông tin gì. Đây là bài học thứ nhất: lời tự nhận "mình trung thực" không phải bằng chứng. Bài học thứ hai: một câu tự nhắc tới loại của mình chỉ có ích khi nó bị ghép với điều khác. Ba câu đố dưới đây làm đúng việc đó.

Câu đố 1: lời kể ở nhà văn hoá

Ví dụ minh hoạ tự đặt. Tối sinh hoạt ở nhà văn hoá đảo, khách hỏi Hưng: "Anh thuộc loại nào?". Hưng trả lời nhưng tiếng loa át mất. Khánh đứng cạnh nói: «Hưng vừa nói Hưng là kẻ nói dối.» Linh liền nói: «Khánh đang nói dối.» Khánh và Linh mỗi người thuộc loại nào? Có biết được Hưng không?

Lời giải từng bước

Bước 1. Như đã chứng minh, không ai trên đảo nói được «mình là kẻ nói dối». Vậy Hưng không thể đã nói câu đó, và lời kể của Khánh sai.

Bước 2. Người nói câu sai là kẻ nói dối: Khánh là kẻ nói dối.

Bước 3. Linh nói Khánh đang nói dối, điều này đúng, nên Linh là hiệp sĩ.

Bước 4. Về Hưng: dù Hưng là hiệp sĩ hay kẻ nói dối, Hưng cũng sẽ trả lời "mình là hiệp sĩ", và không lời nào khác trong đề nói về Hưng. Cả hai khả năng đều sống. Hưng không xác định được.

Ghép thêm Hưng (2 khả năng) thì có hai kịch bản sống, chỉ khác nhau ở Hưng. Đề nên được phát biểu cẩn thận: "xác định Khánh và Linh" có đáp án duy nhất, còn Hưng thì không.

Câu đố 2: "mình là kẻ nói dối hoặc…"

Ví dụ minh hoạ tự đặt. Ở bến cá, Phương nói: «Mình là kẻ nói dối hoặc Quang là hiệp sĩ.» Phương và Quang thuộc loại nào?

Lời giải từng bước

Giả sử Phương là kẻ nói dối. Vế đầu "mình là kẻ nói dối" đúng, nên cả câu "hoặc" đúng (câu "hoặc" chỉ cần một vế đúng). Kẻ nói dối nói câu đúng: mâu thuẫn. Loại.

Vậy Phương là hiệp sĩ. Câu phải đúng. Vế đầu sai (Phương không nói dối), nên vế sau phải đúng: Quang là hiệp sĩ.

Kết luận: cả hai là hiệp sĩ. Đáp án duy nhất.

Để ý: câu «mình là kẻ nói dối hoặc Quang là hiệp sĩ» tương đương về logic với «nếu mình là hiệp sĩ thì Quang là hiệp sĩ», vì "nếu p thì q" có cùng bảng chân trị với "không p hoặc q". Hai cách phát biểu cho cùng một kết luận.

Câu đố 3: "mình là kẻ nói dối và…"

Ví dụ minh hoạ tự đặt. Ở sân bóng chuyền, Sang nói: «Mình là kẻ nói dối và Thu là hiệp sĩ.»

Lời giải từng bước

Giả sử Sang là hiệp sĩ. Câu phải đúng, tức cả hai vế đúng, trong đó có "Sang là kẻ nói dối". Mâu thuẫn. Loại.

Vậy Sang là kẻ nói dối. Câu phải sai. Vế đầu "Sang là kẻ nói dối" lại đúng, nên để câu "và" sai thì vế sau phải sai: Thu không là hiệp sĩ, tức Thu là kẻ nói dối.

Kết luận: cả hai là kẻ nói dối.

Quy tắc rút gọn cho câu tự nhắc tới mình

Gọi P là phần còn lại của câu (một khẳng định bất kỳ về người khác, về con số…). Từ hai câu đố trên, cộng thêm hai bảng bốn dòng làm tương tự, rút ra:

Dòng thứ ba hay bị đọc vội thành "P luôn đúng". Không phải vậy. Hiệp sĩ nói thì cả câu đúng, nên P đúng. Kẻ nói dối nói thì vế "mình là hiệp sĩ" đã sai sẵn, câu "và" sai bất kể P, nên P đúng hay sai đều hợp luật. Câu này vì thế không lộ loại người nói, cũng không cho kết luận chắc chắn về P. Bảng nhỏ dưới đây cho thấy rõ, và cũng là lý do nên lập bảng thay vì suy nhẩm.

Tự luyện

1. Đạt nói: «Mình là kẻ nói dối hoặc 2 + 2 = 5.» Đạt thuộc loại nào?

   Đáp án: Không ai trên đảo nói được câu này. Hiệp sĩ nói thì câu sai (cả hai vế sai). Kẻ nói dối nói thì câu đúng (vế đầu đúng). Người kể lại câu này đang kể sai.

2. Giang nói: «Mình là kẻ nói dối hoặc Hải là kẻ nói dối.»

   Đáp án: Theo dòng một của bảng quy tắc, Giang là hiệp sĩ và vế sau đúng: Hải là kẻ nói dối.

3. Một người nói: «Mình là hiệp sĩ hoặc mình là kẻ nói dối.» Người đó thuộc loại nào?

   Đáp án: Câu luôn đúng (mỗi người thuộc một trong hai loại), nên chỉ hiệp sĩ nói được: người đó là hiệp sĩ.

4. Trên một đảo có thêm "người thường" lúc nói thật lúc nói dối, ai nói được «mình là kẻ nói dối»?

   Đáp án: Chỉ người thường, và khi nói câu đó thì người thường đang nói dối (vì họ không phải kẻ nói dối).

Dùng vào đâu

Câu tự nhắc tới chính mình xuất hiện ở nhiều nơi nghiêm túc hơn câu đố. Trong toán học, những câu kiểu "câu này không chứng minh được" là chìa khoá của các định lý bất toàn, một chủ đề lớn có chỗ riêng. Trong đời thường, bài học "lời tự nhận không phải bằng chứng" áp dụng thẳng cho quảng cáo tự khen hay lời cam kết "mình nói thật mà": phải có thông tin kiểm chứng được ở ngoài câu đó. Với người học lập trình, bảng chân trị bốn dòng ở trên là cách nhanh nhất để tự kiểm một điều kiện có "hoặc", "và" trước khi viết vào mã.

Khung đảo hiệp sĩ – kẻ nói dối được Raymond Smullyan phổ biến trong cuốn What Is the Name of This Book? (1978); cuốn này có nhiều câu đố tự nhắc tới mình, rất hợp để luyện tiếp.