Biện luận dấu các nghiệm phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) dựa vào ba đại lượng Δ, tổng S = −b/a và tích P = c/a: hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0 (tương đương a·c < 0); hai nghiệm dương phân biệt ⇔ Δ > 0, S > 0, P > 0; hai nghiệm âm phân biệt ⇔ Δ > 0, S < 0, P > 0. Trường hợp trái dấu không cần xét Δ, còn hai trường hợp cùng dấu thì bắt buộc phải có Δ.
Bài này giải thích vì sao các điều kiện ấy đúng, đi qua hai ví dụ có lập bảng dấu nghiệm theo từng khoảng của m, rồi chỉ ra những chỗ hay sai: quên Δ, quên nghiệm bằng 0, quên trường hợp hệ số a bằng 0.
Vì sao tổng và tích đủ để đoán dấu
Định lý Vi-ét cho biết nếu phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thì x₁ + x₂ = S = −b/a và x₁·x₂ = P = c/a. Từ đó suy luận dấu như sau:
- P < 0: tích hai số âm thì một số dương, một số âm. Không cần hỏi thêm gì.
- P > 0: hai số cùng dấu (và đều khác 0). Muốn biết cùng dương hay cùng âm, nhìn tổng: S > 0 thì cùng dương, S < 0 thì cùng âm.
- P = 0: một nghiệm bằng 0. Số 0 không dương cũng không âm, nên phương trình không có "hai nghiệm dương" hay "hai nghiệm âm".
Chỗ tinh tế nằm ở chữ "nếu" của Vi-ét. Hệ thức tổng – tích chỉ nói về nghiệm khi nghiệm tồn tại. Ta luôn tính được S và P từ hệ số, kể cả khi phương trình vô nghiệm. Chẳng hạn x² − 2x + 5 = 0 có S = 2 > 0, P = 5 > 0, nhưng Δ' = 1 − 5 = −4 < 0, chẳng có nghiệm nào để mà dương. Vì thế hai điều kiện cùng dấu phải kèm Δ.
Riêng trường hợp trái dấu thì không cần: nếu P = c/a < 0 thì a·c < 0, kéo theo Δ = b² − 4ac > 0 vì b² ≥ 0 và −4ac > 0. Điều kiện P < 0 tự nó đã đảm bảo có hai nghiệm phân biệt.
Phương pháp chung và bảng điều kiện
- Nếu a chứa m, xét riêng a = 0 (phương trình bậc nhất, chỉ có tối đa một nghiệm).
- Với a ≠ 0, tính Δ (hoặc Δ'), S, P theo m.
- Chọn đúng bộ điều kiện trong bảng dưới, giải từng bất phương trình theo m.
- Lấy giao các tập nghiệm, rồi đối chiếu với điều kiện a ≠ 0.
- Thử lại bằng một giá trị m nằm trong đáp số và một giá trị nằm ngoài.
| Yêu cầu về nghiệm | Điều kiện (với a ≠ 0) | Ghi chú |
|---|---|---|
| Hai nghiệm trái dấu | P < 0 (hay a·c < 0) | Không cần Δ |
| Hai nghiệm dương phân biệt | Δ > 0, S > 0, P > 0 | Đủ cả ba |
| Hai nghiệm âm phân biệt | Δ > 0, S < 0, P > 0 | Đủ cả ba |
| Hai nghiệm dương (cho phép kép) | Δ ≥ 0, S > 0, P > 0 | Đọc kỹ đề có chữ "phân biệt" không |
| Hai nghiệm cùng dấu | Δ ≥ 0 (hoặc > 0), P > 0 | Không cần S |
| Một nghiệm bằng 0 | P = 0 (tức c = 0) | Nghiệm còn lại là S |
Ví dụ 1: x² − 2(m − 1)x + m² − 3m = 0
Tính ba đại lượng
Hệ số a = 1 không chứa m, nên không có trường hợp suy biến. b' = −(m − 1).
- Δ' = (m − 1)² − (m² − 3m) = m² − 2m + 1 − m² + 3m = m + 1.
- S = 2(m − 1).
- P = m² − 3m = m(m − 3).
Trả lời từng câu
Trái dấu: P < 0 ⇔ m(m − 3) < 0 ⇔ 0 < m < 3.
Hai nghiệm dương phân biệt: Δ' > 0 cho m > −1; S > 0 cho m > 1; P > 0 cho m < 0 hoặc m > 3. Giao ba điều kiện: m > 3.
Hai nghiệm âm phân biệt: m > −1; S < 0 cho m < 1; P > 0 cho m < 0 hoặc m > 3. Giao: −1 < m < 0.
Bảng dấu nghiệm theo m
| Khoảng của m | Δ' | P | S | Kết luận về nghiệm |
|---|---|---|---|---|
| m < −1 | âm | — | — | Vô nghiệm |
| m = −1 | 0 | 4 | −4 | Nghiệm kép x = −2 (âm) |
| −1 < m < 0 | dương | dương | âm | Hai nghiệm âm phân biệt |
| m = 0 | 1 | 0 | −2 | Nghiệm x = 0 và x = −2 |
| 0 < m < 3 | dương | âm | tuỳ m | Hai nghiệm trái dấu |
| m = 3 | 4 | 0 | 4 | Nghiệm x = 0 và x = 4 |
| m > 3 | dương | dương | dương | Hai nghiệm dương phân biệt |
Thử lại
m = 4: phương trình là x² − 6x + 4 = 0, nghiệm 3 ± √5. Vì √5 ≈ 2,24 nên cả hai nghiệm (khoảng 0,76 và 5,24) đều dương. Khớp.
m = −1/2: phương trình là x² + 3x + 7/4 = 0, Δ = 9 − 7 = 2 > 0, nghiệm (−3 ± √2)/2, khoảng −0,79 và −2,21, đều âm. Khớp.
m = 1: phương trình là x² − 2 = 0, nghiệm ±√2, trái dấu. Khớp.
m = −2 (ngoài mọi đáp số): x² + 6x + 10 = 0, Δ' = 9 − 10 < 0, vô nghiệm. Khớp với dòng đầu bảng.
Câu hỏi biến thể: có ít nhất một nghiệm dương
Đọc từ bảng: có nghiệm dương khi 0 < m < 3 (trái dấu), m = 3 (có nghiệm 4), m > 3 (hai nghiệm dương). Tại m = 0 hai nghiệm là 0 và −2, không có nghiệm dương. Đáp số: m > 0. Câu hỏi "ít nhất một" phải ghép nhiều dòng của bảng, không có công thức một dòng.
Ví dụ 2: (m − 2)x² − 2mx + m + 3 = 0 — hệ số a chứa m
Trường hợp a = 0
m = 2: phương trình thành −4x + 5 = 0, x = 5/4. Một nghiệm dương duy nhất. Không có "hai nghiệm" nào cả.
Trường hợp a ≠ 0
Δ' = m² − (m − 2)(m + 3) = m² − (m² + m − 6) = 6 − m. S = 2m/(m − 2). P = (m + 3)/(m − 2).
Trái dấu: a·c < 0 ⇔ (m − 2)(m + 3) < 0 ⇔ −3 < m < 2. Dùng a·c thay cho c/a để khỏi phải xử lý phân thức.
Hai nghiệm dương phân biệt: Δ' > 0 cho m < 6. S > 0 ⇔ m(m − 2) > 0 ⇔ m < 0 hoặc m > 2. P > 0 ⇔ (m + 3)(m − 2) > 0 ⇔ m < −3 hoặc m > 2. Giao lại: m < −3 hoặc 2 < m < 6.
Hai nghiệm âm phân biệt: cần S < 0, tức 0 < m < 2, và P > 0, tức m < −3 hoặc m > 2. Hai điều kiện không có phần chung, nên không có m nào cho hai nghiệm âm.
Thử lại
m = 3: phương trình là x² − 6x + 6 = 0, nghiệm 3 ± √3, khoảng 1,27 và 4,73, đều dương. Khớp.
m = −4: phương trình là −6x² + 8x − 1 = 0, tức 6x² − 8x + 1 = 0, nghiệm (4 ± √10)/6, khoảng 1,19 và 0,14, đều dương. Khớp với nhánh m < −3.
m = −3: phương trình là −5x² + 6x = 0, nghiệm 0 và 6/5. Có nghiệm bằng 0 nên không phải "hai nghiệm dương". Khớp với việc loại m = −3.
m = 6: phương trình là 4x² − 12x + 9 = 0, tức (2x − 3)² = 0, nghiệm kép 3/2. Nếu đề cho phép nghiệm kép thì m = 6 được nhận; nếu đề ghi "phân biệt" thì loại.
Bảng kết luận biện luận cho ví dụ 2
| Giá trị m | Dấu các nghiệm |
|---|---|
| m < −3 | Hai nghiệm dương phân biệt |
| m = −3 | Nghiệm 0 và 6/5 |
| −3 < m < 2 | Hai nghiệm trái dấu |
| m = 2 | Một nghiệm dương x = 5/4 (bậc nhất) |
| 2 < m < 6 | Hai nghiệm dương phân biệt |
| m = 6 | Nghiệm kép dương x = 3/2 |
| m > 6 | Vô nghiệm |
Lỗi hay gặp
- Quên Δ khi xét cùng dấu. S > 0, P > 0 không đảm bảo có nghiệm. Thiếu Δ là đáp số rộng hơn thực tế.
- Thêm Δ thừa khi xét trái dấu. Không sai về kết quả, nhưng tốn công và dễ tính nhầm. P < 0 đã đủ.
- Quên nghiệm bằng 0. P ≥ 0 không phải điều kiện cùng dấu. Phải là P > 0.
- Quên trường hợp a = 0. Câu "có nghiệm dương" ở ví dụ 2 phải tính cả m = 2, lúc đó có nghiệm 5/4.
- Giải bất phương trình phân thức sai. S = 2m/(m − 2) > 0 không phải "m > 0". Đổi về tích m(m − 2) > 0 rồi xét dấu.
- Lẫn "hai nghiệm dương" với "có nghiệm dương". Câu đầu cần cả hai nghiệm dương; câu sau chỉ cần ít nhất một, phải gộp nhiều trường hợp.
Dùng vào đâu
- Thi cử: dạng "tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu / cùng dương" là câu hỏi quen thuộc trong đề tuyển sinh lớp 10 và kiểm tra lớp 10.
- Bài đặt ẩn phụ: khi đặt t = x² ≥ 0 trong phương trình trùng phương, số nghiệm x phụ thuộc hoàn toàn vào dấu các nghiệm t. Bảng dấu ở bài này là công cụ chính cho bài đó.
- Thói quen logic: mỗi điều kiện trong bảng là một mệnh đề "và". Thiếu một vế là sai, thừa một vế không cần thiết thì không sai nhưng rối. Tập viết điều kiện vừa đủ.
Câu hỏi thường gặp
Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu là gì?
Là a·c < 0, hay tương đương P = c/a < 0. Điều kiện này tự kéo theo Δ > 0, nên không cần xét thêm biệt thức.
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi nào?
Khi a ≠ 0, Δ > 0, S = −b/a > 0 và P = c/a > 0. Thiếu Δ thì có thể phương trình vô nghiệm mà S, P vẫn dương.
Vì sao xét trái dấu không cần Δ?
Vì a·c < 0 làm −4ac dương, cộng với b² không âm nên Δ = b² − 4ac luôn dương. Hai nghiệm phân biệt đã được đảm bảo sẵn.
Nghiệm bằng 0 có được tính là nghiệm dương không?
Không. Số 0 không dương cũng không âm. Vì vậy điều kiện cùng dấu là P > 0, không phải P ≥ 0.
Hai nghiệm cùng dấu thì cần điều kiện gì?
Cần a ≠ 0, Δ ≥ 0 (hoặc Δ > 0 nếu đề đòi phân biệt) và P > 0. Không cần điều kiện về tổng S, vì chỉ hỏi cùng dấu chứ không hỏi dấu gì.
