Biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c, a'x + b'y = c' bằng định thức là tính ba số D = ab' − a'b, Dx = cb' − c'b, Dy = ac' − a'c rồi xét: D ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất x = Dx/D, y = Dy/D; D = 0 mà Dx hoặc Dy khác 0 thì hệ vô nghiệm; D = Dx = Dy = 0 thì hệ thường có vô số nghiệm (có một ngoại lệ cần biết). Đây là quy tắc Cramer áp dụng cho hệ hai ẩn.
Phần này nằm trong sách giáo khoa Toán 10 bộ cũ; chương trình 2018 không còn đặt nặng, nhưng đề thi học sinh giỏi và tuyển sinh lớp 10 chuyên vẫn hay gặp. Bài dưới đây đi qua cách nhớ công thức, hai ví dụ có đủ ba trường hợp, câu hỏi nghiệm nguyên, và ngoại lệ "D = Dx = Dy = 0 mà vẫn vô nghiệm".
Ba định thức và cách nhớ
Định thức cấp hai của bảng số gồm hai hàng (p, q) và (r, s) được tính bằng ps − rq: tích đường chéo chính trừ tích đường chéo phụ.
- D: lấy hai cột hệ số của x và y. D = ab' − a'b.
- Dx: thay cột hệ số của x bằng cột vế phải (c, c'). Dx = cb' − c'b.
- Dy: thay cột hệ số của y bằng cột vế phải. Dy = ac' − a'c.
Mẹo nhớ: chữ "x" trong Dx cho biết cột nào bị thay. Cột vế phải luôn đi vào chỗ của ẩn mang tên định thức.
Ý nghĩa hình học
Mỗi phương trình ax + by = c (a, b không đồng thời bằng 0) là một đường thẳng trên mặt phẳng toạ độ. D ≠ 0 nghĩa là hai đường có phương khác nhau, cắt nhau tại đúng một điểm. D = 0 nghĩa là hai đường cùng phương: hoặc song song (vô nghiệm), hoặc trùng nhau (vô số nghiệm). Dx và Dy là công cụ để phân biệt song song với trùng nhau.
Phương pháp chung
- Viết hệ về đúng dạng ax + by = c, a'x + b'y = c'. Chú ý dấu trừ của hệ số.
- Tính D, Dx, Dy theo m. Phân tích thành nhân tử càng gọn càng tốt.
- Xét D ≠ 0: nghiệm duy nhất (Dx/D; Dy/D), rút gọn sau khi đã loại các m làm D = 0.
- Xét từng m làm D = 0: thay vào Dx, Dy. Nếu một trong hai khác 0 thì vô nghiệm. Nếu cả hai bằng 0, thay m vào hệ gốc để xem hệ thực sự là gì.
- Gom kết luận.
Ví dụ 1: mx + y = m + 1 và x + my = 2
Tính định thức
Hệ số: a = m, b = 1, c = m + 1; a' = 1, b' = m, c' = 2.
- D = m·m − 1·1 = m² − 1 = (m − 1)(m + 1).
- Dx = (m + 1)·m − 2·1 = m² + m − 2 = (m − 1)(m + 2).
- Dy = m·2 − 1·(m + 1) = m − 1.
Biện luận
m ≠ 1 và m ≠ −1: nghiệm duy nhất x = (m − 1)(m + 2)/[(m − 1)(m + 1)] = (m + 2)/(m + 1), y = (m − 1)/[(m − 1)(m + 1)] = 1/(m + 1).
m = 1: D = 0, Dx = 0, Dy = 0. Thay vào hệ gốc: x + y = 2 và x + y = 2, hai phương trình trùng nhau. Vô số nghiệm, dạng (x; 2 − x) với x tuỳ ý.
m = −1: D = 0, Dx = (−2)(1) = −2 ≠ 0. Vô nghiệm. Thay vào hệ gốc: −x + y = 0 và x − y = 2. Phương trình đầu cho x − y = 0, mâu thuẫn với x − y = 2. Khớp.
Thử lại với m = 2
Hệ: 2x + y = 3 và x + 2y = 2. Giải bằng thế: y = 3 − 2x, thay vào phương trình hai: x + 6 − 4x = 2, nên x = 4/3, y = 3 − 8/3 = 1/3. Công thức: x = 4/3, y = 1/3. Khớp. Kiểm vào hệ: 8/3 + 1/3 = 3 và 4/3 + 2/3 = 2. Đúng.
Câu hỏi tiếp: tìm m nguyên để nghiệm duy nhất là cặp số nguyên
Viết x = (m + 2)/(m + 1) = 1 + 1/(m + 1) và y = 1/(m + 1). Cả hai nguyên ⇔ 1/(m + 1) nguyên ⇔ m + 1 là ước của 1 ⇔ m + 1 = 1 hoặc m + 1 = −1 ⇔ m = 0 hoặc m = −2. Cả hai đều khác ±1 nên hệ có nghiệm duy nhất.
Thử: m = 0 cho y = 1, x = 2; hệ gốc là y = 1 và x = 2. Đúng. m = −2 cho y = −1, x = 0; hệ gốc là −2x + y = −1 và x − 2y = 2; thay (0; −1): 0 − 1 = −1 và 0 + 2 = 2. Đúng.
Ví dụ 2: (m + 1)x − 2y = m − 1 và m²x − y = m² + 2m
Tính định thức
a = m + 1, b = −2, c = m − 1; a' = m², b' = −1, c' = m² + 2m.
- D = (m + 1)(−1) − m²(−2) = 2m² − m − 1 = (2m + 1)(m − 1).
- Dx = (m − 1)(−1) − (m² + 2m)(−2) = −m + 1 + 2m² + 4m = 2m² + 3m + 1 = (2m + 1)(m + 1).
- Dy = (m + 1)(m² + 2m) − m²(m − 1) = m³ + 3m² + 2m − m³ + m² = 4m² + 2m = 2m(2m + 1).
Biện luận
m ≠ 1 và m ≠ −1/2: nghiệm duy nhất x = (m + 1)/(m − 1), y = 2m/(m − 1).
m = 1: D = 0, Dx = 3·2 = 6 ≠ 0: vô nghiệm. Hệ gốc: 2x − 2y = 0 và x − y = 3. Phương trình đầu cho x − y = 0, mâu thuẫn. Khớp.
m = −1/2: D = Dx = Dy = 0. Thay vào hệ gốc: (1/2)x − 2y = −3/2 và (1/4)x − y = 1/4 − 1 = −3/4. Nhân phương trình hai với 2 ra đúng phương trình một. Hai đường trùng nhau: vô số nghiệm, dạng (x; (x + 3)/4).
Thử lại với m = 2
Hệ: 3x − 2y = 1 và 4x − y = 8. Từ phương trình hai: y = 4x − 8. Thay vào: 3x − 8x + 16 = 1, nên x = 3, y = 4. Công thức: x = 3/1 = 3, y = 4/1 = 4. Khớp.
Ví dụ này cho thấy vì sao phải phân tích nhân tử trước: nhân tử (2m + 1) có mặt ở cả D, Dx, Dy. Nếu ai đó rút gọn ngay x = Dx/D thành (m + 1)/(m − 1) mà không ghi điều kiện, trường hợp m = −1/2 sẽ biến mất khỏi bài.
Bảng kết luận biện luận
| Hệ | Giá trị m | D; Dx; Dy | Kết luận |
|---|---|---|---|
| Ví dụ 1 | m ≠ ±1 | D ≠ 0 | Nghiệm duy nhất ((m + 2)/(m + 1); 1/(m + 1)) |
| Ví dụ 1 | m = 1 | 0; 0; 0 | Vô số nghiệm (x; 2 − x) |
| Ví dụ 1 | m = −1 | 0; −2; −2 | Vô nghiệm |
| Ví dụ 2 | m ≠ 1, m ≠ −1/2 | D ≠ 0 | Nghiệm duy nhất ((m + 1)/(m − 1); 2m/(m − 1)) |
| Ví dụ 2 | m = 1 | 0; 6; 6 | Vô nghiệm |
| Ví dụ 2 | m = −1/2 | 0; 0; 0 | Vô số nghiệm (x; (x + 3)/4) |
Ngoại lệ: D = Dx = Dy = 0 mà vẫn vô nghiệm
Nhiều tài liệu viết gọn "D = Dx = Dy = 0 thì hệ vô số nghiệm". Câu đó đúng khi trong hệ có ít nhất một hệ số của ẩn khác 0. Nếu mọi hệ số a, b, a', b' đều bằng 0, hệ thành 0x + 0y = c và 0x + 0y = c'. Lúc này D, Dx, Dy đều bằng 0 (vì mỗi tích đều chứa một hệ số 0), nhưng hệ chỉ có nghiệm khi c = c' = 0. Ví dụ 0x + 0y = 1, 0x + 0y = 2 vô nghiệm dù cả ba định thức bằng 0.
Trong đề tham số, trường hợp này xảy ra khi một giá trị m làm toàn bộ hệ số của x và y triệt tiêu, chẳng hạn hệ (m − 1)x + (m − 1)y = 2, (m − 1)x − (m − 1)y = 3 tại m = 1. Cách an toàn: khi D = Dx = Dy = 0, luôn thay m vào hệ gốc rồi kết luận, như đã làm ở hai ví dụ trên.
Lỗi hay gặp
- Đặt sai cột khi tính Dx, Dy, ví dụ thay nhầm cột y khi tính Dx. Ghi ra hai hàng số trước khi nhân chéo.
- Quên dấu trừ của hệ số: hệ có −2y thì b = −2, không phải 2.
- Kết luận D = 0 là vô nghiệm ngay, không xét Dx, Dy. D = 0 chỉ nói hai đường cùng phương.
- Rút gọn x = Dx/D trước khi loại m làm D = 0, đánh mất trường hợp vô số nghiệm.
- Tin tuyệt đối câu "D = Dx = Dy = 0 thì vô số nghiệm" mà không kiểm hệ gốc.
- Ghi nghiệm vô số mà không mô tả: nên viết rõ dạng (x; 2 − x) với x ∈ ℝ.
Dùng vào đâu
- Thi chuyên và học sinh giỏi: câu "tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả x + y nhỏ nhất / x, y nguyên" đều đi qua biểu thức Dx/D, Dy/D.
- Đại số tuyến tính ở đại học: quy tắc Cramer mở rộng cho hệ n ẩn bằng định thức cấp n. Hiểu chắc bản hai ẩn giúp học phần ma trận nhẹ hơn nhiều.
- Lập trình và bảng tính: giải hệ hai ẩn trong mã cũng phải có nhánh D = 0, nếu không sẽ chia cho 0. Ba nhánh của bài biện luận là ba nhánh điều kiện trong chương trình.
- Bài cùng danh mục: biện luận phương trình bậc nhất ax = b. Hệ hai ẩn là phiên bản hai chiều của đúng bài đó.
Câu hỏi thường gặp
Công thức D, Dx, Dy của hệ hai phương trình bậc nhất là gì?
Với hệ ax + by = c, a'x + b'y = c': D = ab' − a'b, Dx = cb' − c'b, Dy = ac' − a'c. Khi D ≠ 0, nghiệm duy nhất là x = Dx/D, y = Dy/D.
Khi nào hệ phương trình vô nghiệm?
Khi D = 0 và ít nhất một trong hai số Dx, Dy khác 0. Về hình học, hai đường thẳng song song và không trùng nhau.
D = Dx = Dy = 0 thì hệ có vô số nghiệm không?
Thường là có, khi hệ có ít nhất một hệ số của ẩn khác 0. Nếu mọi hệ số của x và y đều bằng 0 thì hệ có thể vô nghiệm, nên luôn thay m vào hệ gốc để kết luận.
Quy tắc Cramer là gì?
Là cách giải hệ phương trình tuyến tính có định thức khác 0 bằng cách lấy từng định thức thay cột chia cho định thức chính. Với hệ hai ẩn, đó chính là x = Dx/D, y = Dy/D.
Chương trình Toán 2018 còn dạy định thức D, Dx, Dy không?
Chương trình 2018 không đặt nặng cách giải và biện luận hệ bằng định thức như sách cũ. Dạng bài này vẫn xuất hiện trong đề học sinh giỏi, đề chuyên và là nền cho phần ma trận ở đại học.
