Tìm m để hai nghiệm thoả hệ thức Vi-ét: bước đối chiếu điều kiện

Tìm m để hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình bậc hai thoả một hệ thức gồm ba việc theo thứ tự: tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (a ≠ 0, Δ ≥ 0 hoặc Δ > 0), dùng Vi-ét biến hệ thức thành phương trình theo m, rồi đối chiếu từng giá trị m tìm được với điều kiện ban đầu. Bước thứ ba là bước hay bị quên nhất, và nó thường loại đúng một trong hai đáp số.

Bài này có hai ví dụ trong đó một giá trị m "đẹp" phải bị loại, một ví dụ hệ thức không đối xứng, và một ví dụ tìm giá trị nhỏ nhất cho thấy bỏ điều kiện thì ra cả đáp số vô lý.

Vì sao có bước đối chiếu

Định lý Vi-ét nói: nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ thì x₁ + x₂ = −b/a và x₁x₂ = c/a. Chiều ngược lại không tự động đúng: ta có thể tính S = −b/a và P = c/a cho mọi m, kể cả những m làm phương trình vô nghiệm. Khi thay S, P vào hệ thức rồi giải ra m, ta đang làm việc với hai con số S, P chứ không phải với hai nghiệm thật. Một giá trị m có thể khớp hệ thức về mặt con số mà phương trình lại không có nghiệm thực nào.

Về logic, đây là lỗi dùng hệ quả của một giả thiết mà không kiểm giả thiết. Bước đối chiếu điều kiện chính là kiểm lại giả thiết "phương trình có hai nghiệm".

Phương pháp chung

1. Điều kiện có nghiệm: a ≠ 0 và Δ ≥ 0 (nếu đề nói "hai nghiệm phân biệt" thì Δ > 0). Giải ra tập giá trị m cho phép.
2. Viết Vi-ét: S = x₁ + x₂ = −b/a, P = x₁x₂ = c/a.
3. Biến đổi hệ thức về S và P. Một số đẳng thức hay dùng:
   • x₁² + x₂² = S² − 2P
   • (x₁ − x₂)² = S² − 4P
   • x₁³ + x₂³ = S³ − 3PS
   • 1/x₁ + 1/x₂ = S/P (cần P ≠ 0)
4. Giải phương trình theo m.
5. Đối chiếu từng giá trị m với điều kiện ở bước 1, loại giá trị không thoả.
6. Thử lại bằng cách thay m vào phương trình gốc, giải ra nghiệm và tính hệ thức.

Ví dụ 1: x² − 2(m + 1)x + m² + 2 = 0, tìm m để x₁² + x₂² = 10

Điều kiện có nghiệm

a = 1 ≠ 0. Δ' = (m + 1)² − (m² + 2) = m² + 2m + 1 − m² − 2 = 2m − 1. Phương trình có hai nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ m ≥ 1/2.

Vi-ét và biến đổi

S = 2(m + 1), P = m² + 2.

x₁² + x₂² = S² − 2P = 4(m + 1)² − 2(m² + 2) = 4m² + 8m + 4 − 2m² − 4 = 2m² + 8m.

Giải theo m

2m² + 8m = 10 ⇔ m² + 4m − 5 = 0 ⇔ (m − 1)(m + 5) = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = −5.

Đối chiếu

m = 1 thoả m ≥ 1/2: nhận. m = −5 không thoả: loại. Đáp số: m = 1.

Thử lại

m = 1: phương trình là x² − 4x + 3 = 0, nghiệm 1 và 3. Tổng bình phương 1 + 9 = 10. Đúng.

m = −5: phương trình là x² + 8x + 27 = 0, Δ' = 16 − 27 = −11 < 0, vô nghiệm thực. Trong khi đó S = −8, P = 27, và S² − 2P = 64 − 54 = 10. Con số khớp hoàn hảo, nhưng không có nghiệm nào để khớp. Đây chính là cái bẫy.

Ví dụ 2: hệ số a chứa m — mx² − 2(m − 1)x + m − 3 = 0, tìm m để x₁² + x₂² = 4

Điều kiện

Cần a = m ≠ 0. Δ' = (m − 1)² − m(m − 3) = m² − 2m + 1 − m² + 3m = m + 1. Có hai nghiệm ⇔ m ≠ 0 và m ≥ −1.

Vi-ét

S = 2(m − 1)/m, P = (m − 3)/m.

x₁² + x₂² = S² − 2P = 4(m − 1)²/m² − 2(m − 3)/m = [4(m − 1)² − 2m(m − 3)]/m².

Tử số: 4m² − 8m + 4 − 2m² + 6m = 2m² − 2m + 4.

Giải theo m

(2m² − 2m + 4)/m² = 4 ⇔ 2m² − 2m + 4 = 4m² ⇔ 2m² + 2m − 4 = 0 ⇔ m² + m − 2 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = −2.

Đối chiếu và thử lại

m = 1 thoả m ≥ −1, m ≠ 0: nhận. Phương trình là x² − 2 = 0, nghiệm ±√2, tổng bình phương 2 + 2 = 4. Đúng.

m = −2 không thoả m ≥ −1: loại. Kiểm: phương trình là −2x² + 6x − 5 = 0, Δ' = 9 − 10 = −1 < 0, vô nghiệm. Nhưng S = 3, P = 5/2, S² − 2P = 9 − 5 = 4, lại khớp con số. Đáp số: m = 1.

Hai biến thể hay gặp

Ví dụ 3: hệ thức không đối xứng — x² − 7x + m = 0, tìm m để 2x₁ + 3x₂ = 18

Hệ thức 2x₁ + 3x₂ không viết được qua S và P, vì đổi chỗ x₁ với x₂ thì nó thay đổi. Cách làm: ghép với tổng để lập hệ.

Điều kiện: Δ = 49 − 4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 49/4.

Ta có x₁ + x₂ = 7 và 2x₁ + 3x₂ = 18. Nhân phương trình đầu với 2: 2x₁ + 2x₂ = 14. Trừ vế: x₂ = 4, suy ra x₁ = 3. Khi đó m = x₁x₂ = 12.

Đối chiếu: 12 ≤ 49/4 = 12,25. Nhận. Thử lại: x² − 7x + 12 = 0 có nghiệm 3 và 4; chọn x₁ = 3, x₂ = 4 thì 2·3 + 3·4 = 18. Đúng.

Lưu ý: với hệ thức không đối xứng, đề đang ngầm cho phép gọi tên hai nghiệm theo thứ tự nào cũng được. Đáp số m = 12 nghĩa là "có cách gọi tên hai nghiệm để hệ thức đúng".

Ví dụ 4: tìm giá trị nhỏ nhất — chỗ bỏ điều kiện ra đáp số vô lý

Quay lại ví dụ 1 và hỏi: tìm m để x₁² + x₂² nhỏ nhất. Ta đã có x₁² + x₂² = 2m² + 8m với điều kiện m ≥ 1/2.

Cách sai: viết 2m² + 8m = 2(m + 2)² − 8, kết luận giá trị nhỏ nhất là −8 khi m = −2. Chỉ cần nhìn là thấy vô lý: tổng hai bình phương số thực không thể âm. Lý do: m = −2 nằm ngoài điều kiện, lúc đó phương trình vô nghiệm.

Cách đúng: trên miền m ≥ 1/2, biểu thức 2m² + 8m = 2m(m + 4) là tích của hai thừa số dương cùng tăng khi m tăng, nên nhỏ nhất tại m = 1/2. Giá trị nhỏ nhất: 2·(1/4) + 8·(1/2) = 1/2 + 4 = 9/2.

Thử lại: m = 1/2, phương trình là x² − 3x + 9/4 = 0, tức (x − 3/2)² = 0, nghiệm kép x₁ = x₂ = 3/2. Tổng bình phương 9/4 + 9/4 = 9/2. Đúng.

Bảng tổng kết các ví dụ

Lỗi hay gặp

• Không đối chiếu điều kiện. Ví dụ 1 và 2 đều cho một giá trị "đẹp" phải loại. Nhận cả hai là mất điểm phần kết luận.
• Quên a ≠ 0 khi a chứa m. Vi-ét chỉ áp dụng cho phương trình bậc hai thật sự.
• Dùng Δ ≥ 0 hay Δ > 0 lẫn lộn. "Hai nghiệm" (cho phép trùng) dùng Δ ≥ 0; "hai nghiệm phân biệt" dùng Δ > 0. Đọc đúng chữ trong đề.
• Chia cho P mà không kiểm P ≠ 0 trong các hệ thức có 1/x₁, 1/x₂.
• Tìm cực trị không để ý miền của m, như ví dụ 4. Hoàn thành bình phương xong phải kiểm đỉnh có nằm trong miền không.
• Nhầm công thức (x₁ − x₂)² = S² − 4P thành S² − 2P. Khi không chắc, khai triển lại từ đầu.

Dùng vào đâu

• Thi tuyển sinh lớp 10: câu cuối của bài phương trình bậc hai rất thường là "tìm m để hai nghiệm thoả …". Bước đối chiếu là chỗ người chấm nhìn vào đầu tiên.
• Thói quen kiểm giả thiết: bất cứ khi nào dùng một định lý dạng "nếu … thì …", hãy hỏi giả thiết đã thoả chưa. Vi-ét là ví dụ dễ nhớ nhất.
• Học tiếp: các bài biện luận dấu nghiệm và phương trình trùng phương trong danh mục này dùng lại đúng bộ S, P, Δ. Phần Vi-ét tổng quát cho bậc cao hơn thuộc các tài liệu chuyên về đại số.