Để biện luận số nghiệm phương trình ax² + bx + c = 0 khi a, b, c chứa m, ta làm theo đúng thứ tự: xét a = 0 trước (phương trình thành bậc nhất), rồi với a ≠ 0 mới xét dấu biệt thức Δ: Δ > 0 có hai nghiệm phân biệt, Δ = 0 có nghiệm kép, Δ < 0 vô nghiệm. Đảo thứ tự, hoặc quên bước đầu, là mất ngay trường hợp m làm hệ số x² bằng 0.
Bài này đi từng bước qua hai ví dụ có hệ số x² chứa m, lập bảng kết luận, thử lại bằng số cụ thể, và chỉ ra những câu hỏi "có nghiệm", "có đúng một nghiệm" mà học sinh hay trả lời thiếu.
Vì sao phải xét a trước
Công thức nghiệm x = (−b ± √Δ)/(2a) và cả phép phân loại theo Δ đều được xây dựng với giả thiết a ≠ 0. Khi a = 0, phương trình không còn là bậc hai, Δ không còn ý nghĩa gì: thay a = 0 vào Δ = b² − 4ac được b², luôn không âm, nhưng phương trình bậc nhất bx + c = 0 lại có thể vô nghiệm (khi b = 0, c ≠ 0). Nghĩa là nếu dùng Δ cho trường hợp a = 0, ta có thể đi tới kết luận sai.
Về mặt logic, đây là chuyện phạm vi của một quy tắc. Quy tắc "Δ < 0 thì vô nghiệm" có dạng "nếu a ≠ 0 và Δ < 0 thì vô nghiệm". Dùng nó khi a = 0 là dùng quy tắc ngoài phạm vi của nó.
Δ hay Δ'?
Khi hệ số b chẵn, viết b = 2b', ta dùng Δ' = b'² − ac cho gọn. Vì Δ = 4Δ', hai biệt thức luôn cùng dấu, nên kết luận về số nghiệm không đổi. Các ví dụ dưới đây đều dùng Δ'.
Phương pháp chung
- Xác định a, b, c theo m. Nếu b chẵn thì tính b'.
- Xét a = 0: tìm m, thay vào, giải phương trình bậc nhất còn lại (có thể có một nghiệm, vô nghiệm, hoặc vô số nghiệm).
- Xét a ≠ 0: tính Δ hoặc Δ' theo m, rút gọn, rồi xét dấu. Nếu Δ' là bậc nhất theo m thì xét dấu nhị thức; nếu là bậc hai theo m thì lập bảng xét dấu tam thức.
- Tính nghiệm kép (nếu đề yêu cầu): x = −b'/a, thay giá trị m vào.
- Gom kết luận theo các khoảng của m, nhớ loại những m đã làm a = 0 ra khỏi các khoảng của bước 3.
Ví dụ 1: (m − 1)x² − 2mx + m + 2 = 0
Bước 1 — trường hợp a = 0
a = m − 1 = 0 khi m = 1. Thay vào: 0·x² − 2x + 3 = 0, tức −2x + 3 = 0, nên x = 3/2. Phương trình có đúng một nghiệm.
Bước 2 — trường hợp a ≠ 0, tức m ≠ 1
Ở đây b = −2m nên b' = −m. Tính:
Δ' = b'² − ac = m² − (m − 1)(m + 2) = m² − (m² + m − 2) = 2 − m.
- Δ' > 0 ⇔ m < 2: hai nghiệm phân biệt (nhớ trừ m = 1 đã xét riêng).
- Δ' = 0 ⇔ m = 2: nghiệm kép x = −b'/a = m/(m − 1) = 2/1 = 2.
- Δ' < 0 ⇔ m > 2: vô nghiệm.
Thử lại
m = 2: phương trình thành x² − 4x + 4 = 0, tức (x − 2)² = 0, nghiệm kép x = 2. Khớp.
m = 0 (thuộc nhánh m < 2): phương trình thành −x² + 2 = 0, nghiệm x = √2 và x = −√2, hai nghiệm phân biệt. Khớp.
m = 3 (thuộc nhánh m > 2): phương trình thành 2x² − 6x + 5 = 0, Δ' = 9 − 10 = −1 < 0, vô nghiệm. Công thức Δ' = 2 − m cũng cho −1. Khớp.
m = 1: phương trình thành −2x + 3 = 0, x = 3/2. Khớp.
Ví dụ 2: mx² − 2(m + 1)x + m + 4 = 0
Trường hợp m = 0
Phương trình thành −2x + 4 = 0, nên x = 2, đúng một nghiệm.
Trường hợp m ≠ 0
b' = −(m + 1). Δ' = (m + 1)² − m(m + 4) = m² + 2m + 1 − m² − 4m = 1 − 2m.
- m < 1/2 và m ≠ 0: Δ' > 0, hai nghiệm phân biệt.
- m = 1/2: Δ' = 0, nghiệm kép x = (m + 1)/m = (3/2)/(1/2) = 3.
- m > 1/2: Δ' < 0, vô nghiệm.
Thử lại
m = 1/2: phương trình là (1/2)x² − 3x + 9/2 = 0, nhân 2 được x² − 6x + 9 = 0, tức (x − 3)² = 0. Nghiệm kép x = 3. Khớp.
m = −1: phương trình là −x² − 0·x + 3 = 0, tức x² = 3, hai nghiệm ±√3. Khớp với nhánh m < 1/2.
m = 1: phương trình là x² − 4x + 5 = 0, Δ' = 4 − 5 = −1 < 0, vô nghiệm; công thức 1 − 2·1 = −1. Khớp.
Bảng kết luận biện luận
| Giá trị m | Ví dụ 1: (m − 1)x² − 2mx + m + 2 = 0 | Giá trị m | Ví dụ 2: mx² − 2(m + 1)x + m + 4 = 0 |
|---|---|---|---|
| m < 2, m ≠ 1 | Hai nghiệm phân biệt | m < 1/2, m ≠ 0 | Hai nghiệm phân biệt |
| m = 1 | Một nghiệm x = 3/2 (bậc nhất) | m = 0 | Một nghiệm x = 2 (bậc nhất) |
| m = 2 | Nghiệm kép x = 2 | m = 1/2 | Nghiệm kép x = 3 |
| m > 2 | Vô nghiệm | m > 1/2 | Vô nghiệm |
Từ bảng kết luận trả lời các câu hỏi phụ
Đề hiếm khi chỉ bảo "biện luận". Thường đề hỏi một câu cụ thể, và câu trả lời phải đọc ra từ bảng, không được đọc ra từ mỗi Δ.
"Tìm m để phương trình có nghiệm"
Với ví dụ 2: các trường hợp có nghiệm là m < 1/2 (kể cả m = 0, lúc đó có nghiệm x = 2) và m = 1/2. Vậy đáp số là m ≤ 1/2. Đáp số "m ≤ 1/2 và m ≠ 0" là sai: tại m = 0 phương trình vẫn có nghiệm, chỉ là nghiệm của phương trình bậc nhất.
"Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm"
Với ví dụ 2: đúng một nghiệm xảy ra khi phương trình suy biến thành bậc nhất (m = 0) hoặc có nghiệm kép (m = 1/2). Đáp số m = 0 hoặc m = 1/2. Người chỉ xét Δ' = 0 sẽ trả lời thiếu m = 0.
Với ví dụ 1, tương tự: m = 1 hoặc m = 2.
"Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt"
Muốn có hai nghiệm phân biệt thì bắt buộc a ≠ 0 (phương trình bậc nhất không có hai nghiệm). Với ví dụ 1: m < 2 và m ≠ 1. Với ví dụ 2: m < 1/2 và m ≠ 0. Ở câu này, điều kiện a ≠ 0 phải giữ; ở câu "có nghiệm" thì không được tự ý thêm vào. Hai câu hỏi trông giống nhau nhưng xử lý trường hợp a = 0 ngược nhau.
Lỗi hay gặp
- Quên xét a = 0. Lấy Δ' rồi kết luận luôn, bỏ mất giá trị m làm phương trình thành bậc nhất.
- Xét a = 0 nhưng giải phương trình bậc nhất sai, hoặc kết luận theo thói quen "vô nghiệm" mà không thay số. Phải thay m vào và giải thật.
- Tự thêm "a ≠ 0" vào câu hỏi "có nghiệm". Đề hỏi có nghiệm thì nghiệm của phương trình bậc nhất cũng tính.
- Tính sai Δ' do quên đổi dấu khi mở ngoặc (m − 1)(m + 2). Nên viết rõ m² − (m² + m − 2) rồi mới bỏ ngoặc.
- Lẫn Δ với Δ' trong cùng một bài, ví dụ tính Δ' rồi lại dùng công thức nghiệm kép x = −b/(2a) với b' thay cho b. Đã chọn Δ' thì nghiệm kép là −b'/a.
- Kết luận theo Δ' mà quên loại m làm a = 0 khỏi khoảng "hai nghiệm phân biệt". Ở ví dụ 1, m = 1 nằm trong khoảng m < 2 nhưng không cho hai nghiệm.
Dùng vào đâu
- Thi tuyển sinh lớp 10 và thi THPT: câu "tìm m để phương trình có nghiệm / có hai nghiệm phân biệt" rất hay gặp trong đề tuyển sinh lớp 10. Bước xét a = 0 là chỗ phân loại học sinh.
- Nền cho các bài sau: biện luận dấu nghiệm, tìm m thoả hệ thức Vi-ét, phương trình trùng phương, phương trình chứa ẩn ở mẫu đều mở đầu bằng đúng bảng kết luận này.
- Lập trình: hàm giải phương trình bậc hai viết đúng phải có nhánh a = 0 trước khi tính căn bậc hai của Δ. Đó là bài tập kiểm tra rất hay dùng cho người mới học lập trình.
- Cách đọc đề: tập phân biệt "có nghiệm", "có hai nghiệm", "có hai nghiệm phân biệt", "có đúng một nghiệm". Mỗi cụm từ là một điều kiện logic khác nhau.
Câu hỏi thường gặp
Biện luận số nghiệm phương trình bậc hai theo m làm thế nào?
Xét hệ số a: nếu a có thể bằng 0 thì thay giá trị m đó vào và giải phương trình bậc nhất. Với a ≠ 0, tính Δ (hoặc Δ') theo m rồi xét dấu: dương thì hai nghiệm phân biệt, bằng 0 thì nghiệm kép, âm thì vô nghiệm.
Phương trình bậc hai có nghiệm khi nào?
Phương trình ax² + bx + c = 0 với a ≠ 0 có nghiệm khi Δ ≥ 0. Nếu a chứa m, phải xét thêm trường hợp a = 0: khi đó phương trình bậc nhất còn lại cũng có thể có nghiệm và giá trị m đó vẫn được tính.
Δ' khác Δ thế nào?
Δ' = b'² − ac với b = 2b', còn Δ = b² − 4ac. Vì Δ = 4Δ' nên hai số luôn cùng dấu và cho cùng kết luận về số nghiệm. Dùng Δ' khi b chẵn để tính gọn hơn.
Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm thì cần xét những gì?
Cần xét hai khả năng: phương trình suy biến thành bậc nhất có một nghiệm (a = 0, b ≠ 0), và phương trình bậc hai có nghiệm kép (a ≠ 0, Δ = 0). Chỉ xét Δ = 0 là thiếu.
Có cần xét a = 0 khi đề hỏi hai nghiệm phân biệt không?
Vẫn cần nêu ra, nhưng để loại: phương trình bậc nhất không thể có hai nghiệm phân biệt, nên điều kiện là a ≠ 0 và Δ > 0. Giá trị m làm a = 0 phải bị loại khỏi đáp số.
