Biện luận phương trình trùng phương ax⁴ + bx² + c = 0 theo m bằng cách đặt t = x² (t ≥ 0), đưa về phương trình bậc hai at² + bt + c = 0, rồi đếm nghiệm x theo quy tắc: mỗi nghiệm t > 0 cho hai nghiệm x = ±√t, nghiệm t = 0 cho một nghiệm x = 0, nghiệm t < 0 không cho nghiệm x nào. Số nghiệm của phương trình ban đầu vì thế phụ thuộc vào dấu các nghiệm t, không phải chỉ vào việc phương trình theo t có nghiệm hay không.
Bài này lập bảng tương ứng "nghiệm t ↔ số nghiệm x", giải hai ví dụ trùng phương và một ví dụ đặt ẩn phụ t = x² + 2x, nơi điều kiện của t không còn là t ≥ 0.
Ý tưởng: đếm qua một tầng trung gian
Đặt ẩn phụ là tách bài toán thành hai tầng. Tầng một: phương trình theo t có những nghiệm nào. Tầng hai: mỗi giá trị t sinh ra bao nhiêu giá trị x. Muốn biết tổng số nghiệm x, phải biết cả hai tầng.
Với t = x², tầng hai rất đơn giản vì hàm x ↦ x² có hình parabol: một giá trị dương được "chạm" hai lần (tại √t và −√t), giá trị 0 được chạm đúng một lần, giá trị âm không bao giờ được chạm. Điều quan trọng là hai giá trị t khác nhau luôn cho các x khác nhau, nên cứ cộng số x của từng t là ra tổng.
Bảng tương ứng nghiệm t và số nghiệm x
| Phương trình theo t có | Số nghiệm x | Điều kiện thường dùng (a ≠ 0) |
|---|---|---|
| Hai nghiệm dương phân biệt | 4 | Δ > 0, S > 0, P > 0 |
| Một nghiệm 0, một nghiệm dương | 3 | P = 0, S > 0 |
| Hai nghiệm trái dấu | 2 | P < 0 |
| Nghiệm kép dương | 2 | Δ = 0, S > 0 |
| Một nghiệm 0, một nghiệm âm | 1 | P = 0, S < 0 |
| Nghiệm kép t = 0 | 1 | P = 0, S = 0 |
| Vô nghiệm, hoặc hai nghiệm đều âm | 0 | Δ < 0, hoặc Δ ≥ 0, S < 0, P > 0 |
Nếu hệ số a chứa m, nhớ xét thêm a = 0: phương trình theo t thành bậc nhất, có tối đa một nghiệm t, nên phương trình ban đầu có 0, 1 hoặc 2 nghiệm x (hoặc vô số nếu suy biến hoàn toàn).
Phương pháp chung
- Đặt t = x², ghi rõ điều kiện t ≥ 0.
- Viết phương trình theo t. Nếu hệ số t² chứa m, xét riêng khi nó bằng 0.
- Thử phân tích nhân tử: nếu phương trình theo t có nghiệm "đẹp" không phụ thuộc m, bài toán gọn đi rất nhiều.
- Nếu không phân tích được, tính Δ, S, P và đọc bảng ở trên.
- Gom kết luận số nghiệm x theo từng khoảng của m, rồi thử lại bằng một giá trị m cụ thể.
Ví dụ 1: x⁴ − 2(m + 1)x² + 2m + 1 = 0
Đặt ẩn và phân tích
Đặt t = x² ≥ 0: t² − 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0. Thử t = 1: 1 − 2m − 2 + 2m + 1 = 0. Đúng với mọi m. Theo Vi-ét, nghiệm còn lại là t = 2m + 1 (vì tích hai nghiệm bằng 2m + 1). Vậy phương trình tương đương (t − 1)(t − 2m − 1) = 0.
Đếm nghiệm
Nghiệm t = 1 luôn cho hai nghiệm x = ±1. Phần còn lại phụ thuộc t = 2m + 1:
- 2m + 1 > 0 và 2m + 1 ≠ 1, tức m > −1/2 và m ≠ 0: thêm hai nghiệm ±√(2m + 1). Tổng 4 nghiệm.
- m = 0: t = 1 là nghiệm kép, không thêm gì. Tổng 2 nghiệm.
- m = −1/2: t = 0, thêm nghiệm x = 0. Tổng 3 nghiệm.
- m < −1/2: t = 2m + 1 < 0, không thêm gì. Tổng 2 nghiệm.
Thử lại
m = 4: phương trình là x⁴ − 10x² + 9 = 0. Thay x = 3: 81 − 90 + 9 = 0. Thay x = 1: 1 − 10 + 9 = 0. Bốn nghiệm ±1, ±3. Khớp với nhánh 4 nghiệm.
m = −1/2: phương trình là x⁴ − x² = 0, tức x²(x² − 1) = 0, nghiệm 0, 1, −1. Ba nghiệm. Khớp.
m = 0: phương trình là x⁴ − 2x² + 1 = (x² − 1)² = 0, nghiệm ±1. Hai nghiệm. Khớp.
Ví dụ 2: x⁴ − 4x² + m = 0 — không phân tích được
Đặt ẩn và tính các đại lượng
t² − 4t + m = 0 với t ≥ 0. Δ' = 4 − m, S = 4, P = m.
Vì S = 4 luôn dương, nếu có hai nghiệm cùng dấu thì chúng dương. Đọc bảng:
- Bốn nghiệm x: Δ' > 0 và P > 0 ⇔ 0 < m < 4.
- Ba nghiệm x: P = 0 ⇔ m = 0; khi đó t = 0 và t = 4, x = 0, ±2.
- Hai nghiệm x: P < 0 ⇔ m < 0 (một t dương, một t âm); hoặc Δ' = 0 ⇔ m = 4, nghiệm kép t = 2 > 0, x = ±√2.
- Không nghiệm: Δ' < 0 ⇔ m > 4.
Không có giá trị m nào cho đúng một nghiệm x, vì muốn vậy cần S ≤ 0, mà S = 4.
Thử lại
m = 3: t² − 4t + 3 = 0 cho t = 1 và t = 3, nên x = ±1, ±√3. Bốn nghiệm. Khớp.
m = −1: t² − 4t − 1 = 0 cho t = 2 ± √5. Vì √5 ≈ 2,24, một nghiệm t ≈ 4,24 dương, một nghiệm ≈ −0,24 âm bị loại. Hai nghiệm x. Khớp.
Ví dụ 3: đặt t = x² + 2x, khi điều kiện của t không phải t ≥ 0
Phương trình (x² + 2x)² − 2(x² + 2x) − m = 0. Đặt t = x² + 2x = (x + 1)² − 1, nên t ≥ −1. Tầng hai bây giờ khác: phương trình x² + 2x = t có Δ' = 1 + t, nên t > −1 cho hai nghiệm x, t = −1 cho một nghiệm x = −1, t < −1 không cho nghiệm nào. Mốc so sánh là −1, không phải 0.
Biện luận theo t
t² − 2t − m = 0, Δ' = 1 + m, nghiệm t = 1 ± √(1 + m).
- m < −1: vô nghiệm t, nên 0 nghiệm x.
- m = −1: nghiệm kép t = 1 > −1, nên 2 nghiệm x (x = −1 ± √2).
- m > −1: hai nghiệm t. Nghiệm lớn 1 + √(1 + m) > 1 luôn cho hai x. Nghiệm nhỏ 1 − √(1 + m) so với −1: lớn hơn −1 ⇔ √(1 + m) < 2 ⇔ m < 3.
- −1 < m < 3: cả hai t lớn hơn −1, 4 nghiệm x.
- m = 3: t = −1 và t = 3, cho x = −1 và x = 1, x = −3. 3 nghiệm x.
- m > 3: nghiệm nhỏ nhỏ hơn −1, bỏ; còn 2 nghiệm x.
Thử lại
m = 0: t = 0 hoặc t = 2. x² + 2x = 0 cho x = 0, x = −2; x² + 2x = 2 cho x = −1 ± √3. Bốn nghiệm. Khớp.
m = 3: t² − 2t − 3 = (t − 3)(t + 1) = 0. Thay x = 1: (1 + 2)² − 2·3 − 3 = 9 − 6 − 3 = 0. Thay x = −1: (1 − 2)² − 2·(−1) − 3 = 1 + 2 − 3 = 0. Đúng.
Bảng kết luận biện luận
| Ví dụ | Giá trị m | Số nghiệm x |
|---|---|---|
| 1. x⁴ − 2(m + 1)x² + 2m + 1 = 0 | m > −1/2, m ≠ 0 | 4 |
| m = −1/2 | 3 | |
| m = 0 hoặc m < −1/2 | 2 | |
| 2. x⁴ − 4x² + m = 0 | 0 < m < 4 | 4 |
| m = 0 | 3 | |
| m < 0 hoặc m = 4 | 2 | |
| m > 4 | 0 | |
| 3. đặt t = x² + 2x | −1 < m < 3 | 4 |
| m = 3 | 3 | |
| m = −1 hoặc m > 3 | 2 | |
| m < −1 | 0 |
Lỗi hay gặp
- Quên điều kiện t ≥ 0, đếm cả nghiệm t âm thành hai nghiệm x.
- Đếm t = 0 thành hai nghiệm x. x = √0 và x = −√0 là cùng một số.
- Đồng nhất "phương trình theo t có nghiệm" với "phương trình ban đầu có nghiệm". Chẳng hạn x⁴ + 3x² + 2 = 0: phương trình theo t là t² + 3t + 2 = 0, có hai nghiệm t = −1 và t = −2, nhưng cả hai đều âm nên phương trình ban đầu vô nghiệm.
- Dùng sai mốc khi đặt ẩn phụ khác: với t = x² + 2x mốc là −1, với t = x² − 4x mốc là −4. Luôn tính lại tập giá trị của t.
- Không phát hiện nghiệm "cứng" như t = 1 ở ví dụ 1, rồi mất công tính Δ cồng kềnh. Thử vài số nhỏ (0, 1, −1) trước khi lao vào công thức.
Dùng vào đâu
- Thi cử: "tìm m để phương trình trùng phương có bốn nghiệm phân biệt" là câu hỏi kinh điển của lớp 9 – 10. Nhiều bài nâng cao đòi thêm "bốn nghiệm lập thành cấp số cộng" — bài đó vẫn bắt đầu từ đúng bảng tương ứng ở đây.
- Đếm nghiệm phương trình lượng giác, mũ, logarit: đặt t = sin x, t = 2ˣ, … cũng là đếm qua tầng trung gian, chỉ khác bảng tương ứng t ↔ x.
- Hàm trùng phương: cách nhìn bằng đồ thị (đường thẳng y = m cắt đồ thị) thuộc danh mục biện luận bằng hàm số; đặt ẩn phụ là cách thuần đại số, không cần đạo hàm.
Câu hỏi thường gặp
Phương trình trùng phương có bốn nghiệm phân biệt khi nào?
Khi phương trình at² + bt + c = 0 (với t = x²) có hai nghiệm dương phân biệt, tức a ≠ 0, Δ > 0, S > 0, P > 0. Mỗi nghiệm t dương cho hai nghiệm x đối nhau.
Phương trình trùng phương có ba nghiệm khi nào?
Khi phương trình theo t có một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương, tức c = 0 và S > 0. Nghiệm t = 0 cho x = 0, nghiệm dương cho hai nghiệm đối nhau.
Vì sao đặt t = x² phải có điều kiện t ≥ 0?
Vì bình phương của số thực không âm. Nghiệm t âm không ứng với giá trị x thực nào, nên phải bỏ khi đếm nghiệm phương trình ban đầu.
Phương trình trùng phương có thể có đúng một nghiệm không?
Có, khi nghiệm duy nhất là x = 0: phương trình theo t có nghiệm 0 và nghiệm còn lại âm, hoặc có nghiệm kép t = 0. Ví dụ x⁴ + x² = 0 chỉ có nghiệm x = 0.
Đặt t = x² + 2x thì điều kiện của t là gì?
Vì x² + 2x = (x + 1)² − 1 nên t ≥ −1. Mỗi t > −1 cho hai nghiệm x, t = −1 cho một nghiệm x = −1, t < −1 không cho nghiệm nào.
