Muốn kiểm một lập luận bằng bảng chân trị, ta liệt kê mọi cách gán đúng – sai cho các câu đơn, tính giá trị của từng tiền đề và của kết luận, rồi đi tìm dòng phản ví dụ: dòng mà mọi tiền đề đều đúng nhưng kết luận sai. Có dù chỉ một dòng như vậy thì lập luận không hợp lệ; không có dòng nào thì lập luận hợp lệ. Với lập luận nhiều biến, có cách rút gọn: giả sử kết luận sai, tiền đề đúng, rồi suy ngược xem có vô lý không.
Năm bước của phương pháp
- Dịch sang ký hiệu. Mỗi câu đơn đặt một chữ cái: p, q, r… Dùng ¬ cho "không", ∧ cho "và", ∨ cho "hoặc" (bao hàm), → cho "nếu… thì…" (chỉ sai khi vế trước đúng, vế sau sai).
- Lập đủ các dòng. n câu đơn cho 2ⁿ dòng: 2 biến 4 dòng, 3 biến 8 dòng, 4 biến 16 dòng.
- Tính từng cột tiền đề và cột kết luận, từ trong ngoặc ra ngoài.
- Đánh dấu các dòng mà mọi tiền đề đều đúng. Chỉ những dòng này đáng quan tâm.
- Nhìn kết luận ở các dòng đã đánh dấu. Có dòng kết luận sai → phản ví dụ, không hợp lệ. Kết luận đúng ở tất cả → hợp lệ.
Quy ước xếp dòng để khỏi sót
Cách xếp quen dùng: cột biến đầu tiên chia đôi (nửa trên Đ, nửa dưới S), cột thứ hai chia tư, cột cuối luân phiên từng dòng. Với ba biến:
| Dòng | p | q | r |
|---|---|---|---|
| 1 | Đ | Đ | Đ |
| 2 | Đ | Đ | S |
| 3 | Đ | S | Đ |
| 4 | Đ | S | S |
| 5 | S | Đ | Đ |
| 6 | S | Đ | S |
| 7 | S | S | Đ |
| 8 | S | S | S |
Xếp theo một quy ước cố định giúp đối chiếu bài với người khác và không bao giờ thiếu hay lặp dòng.
Ví dụ 1: một lập luận hợp lệ
"Nếu Nam đi đá bóng thì Nam về muộn. Nếu Nam về muộn thì Nam bị mẹ nhắc. Hôm nay Nam không bị nhắc. Vậy hôm nay Nam không đi đá bóng."
Đặt p = "Nam đi đá bóng", q = "Nam về muộn", r = "Nam bị nhắc". Tiền đề: p → q, q → r, ¬r. Kết luận: ¬p.
| Dòng | p | q | r | p → q | q → r | ¬r | Tiền đề đúng hết? | ¬p |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Đ | Đ | Đ | Đ | Đ | S | Không | S |
| 2 | Đ | Đ | S | Đ | S | Đ | Không | S |
| 3 | Đ | S | Đ | S | Đ | S | Không | S |
| 4 | Đ | S | S | S | Đ | Đ | Không | S |
| 5 | S | Đ | Đ | Đ | Đ | S | Không | Đ |
| 6 | S | Đ | S | Đ | S | Đ | Không | Đ |
| 7 | S | S | Đ | Đ | Đ | S | Không | Đ |
| 8 | S | S | S | Đ | Đ | Đ | Có | Đ |
Chỉ dòng 8 có cả ba tiền đề đúng, và ở đó kết luận ¬p đúng. Không có dòng phản ví dụ: lập luận hợp lệ. (Nó là hai lần modus tollens nối nhau: từ ¬r ra ¬q, từ ¬q ra ¬p.)
Ví dụ 2: một lập luận không hợp lệ
"Nếu bếp còn gas thì bật được lửa. Nếu bật được lửa thì nồi canh nóng. Nồi canh đang nóng. Vậy bếp còn gas."
Đặt p = "bếp còn gas", q = "bật được lửa", r = "nồi canh nóng". Tiền đề: p → q, q → r, r. Kết luận: p.
| Dòng | p | q | r | p → q | q → r | r | Tiền đề đúng hết? | p |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Đ | Đ | Đ | Đ | Đ | Đ | Có | Đ |
| 2 | Đ | Đ | S | Đ | S | S | Không | Đ |
| 3 | Đ | S | Đ | S | Đ | Đ | Không | Đ |
| 4 | Đ | S | S | S | Đ | S | Không | Đ |
| 5 | S | Đ | Đ | Đ | Đ | Đ | Có | S |
| 6 | S | Đ | S | Đ | S | S | Không | S |
| 7 | S | S | Đ | Đ | Đ | Đ | Có | S |
| 8 | S | S | S | Đ | Đ | S | Không | S |
Ba dòng có tiền đề đúng hết: 1, 5 và 7. Dòng 5 và dòng 7 có kết luận sai — hai dòng phản ví dụ, lập luận không hợp lệ. Dòng 7 dễ hình dung nhất: bếp hết gas, không bật được lửa, nhưng canh vẫn nóng vì vừa hâm bằng lò vi sóng. Dòng 5 thì khó hình dung hơn với nội dung này (hết gas mà vẫn bật được lửa), nhưng về hình thức nó vẫn là phản ví dụ hợp lệ; chỉ cần một dòng như vậy là đủ để bác khuôn.
Lỗi ở đây chính là khẳng định hậu kiện, chỉ được kéo dài qua hai mắt xích.
Cách rút gọn: suy ngược từ dòng phản ví dụ
Bảng đầy đủ an toàn nhưng tốn công: 5 biến đã 32 dòng. Cách nhanh hơn là đi thẳng vào câu hỏi "có dòng phản ví dụ không" bằng cách giả sử nó tồn tại:
- Gán kết luận = S, mọi tiền đề = Đ.
- Từ đó suy ra giá trị bắt buộc của từng biến (ưu tiên các câu chỉ có một cách để đúng hoặc sai).
- Đụng mâu thuẫn (một biến vừa phải Đ vừa phải S) → không có phản ví dụ → hợp lệ.
- Gán xong mọi biến mà không mâu thuẫn → đó là phản ví dụ → không hợp lệ.
Ví dụ 3: bốn biến, không cần 16 dòng
"Nếu lớp trưởng hoặc lớp phó vắng thì cô chủ nhiệm ghi sổ và báo phụ huynh. Cô không báo phụ huynh. Vậy lớp trưởng không vắng."
p = "lớp trưởng vắng", q = "lớp phó vắng", r = "cô ghi sổ", s = "cô báo phụ huynh". Tiền đề: (p ∨ q) → (r ∧ s); ¬s. Kết luận: ¬p.
- Kết luận sai ⇒ p đúng.
- p đúng ⇒ p ∨ q đúng.
- Tiền đề 1 đúng, vế trước đúng ⇒ r ∧ s đúng ⇒ s đúng.
- Tiền đề 2 đúng ⇒ s sai. Mâu thuẫn.
Không thể có phản ví dụ: hợp lệ. Bốn dòng suy luận thay cho bảng 16 dòng.
Ví dụ 4: suy ngược tìm ra phản ví dụ
"Sáng nay mình đi xe buýt hoặc đi nhờ xe bố. Nếu đi xe buýt thì đến lớp muộn. Vậy sáng nay mình đến lớp muộn."
p = "đi xe buýt", q = "đi nhờ xe bố", r = "đến muộn". Tiền đề: p ∨ q; p → r. Kết luận: r.
- Kết luận sai ⇒ r sai.
- p → r đúng mà r sai ⇒ p sai.
- p ∨ q đúng mà p sai ⇒ q đúng.
- Kiểm lại: p sai, q đúng, r sai — mọi tiền đề đúng, kết luận sai, không mâu thuẫn.
Phản ví dụ: đi nhờ xe bố và đến đúng giờ. Lập luận không hợp lệ — thiếu tiền đề "nếu đi nhờ xe bố thì cũng muộn".
Những lỗi hay gặp khi lập bảng
| Lỗi | Hậu quả | Cách tránh |
|---|---|---|
| Nhìn cả những dòng có tiền đề sai | Tưởng là phản ví dụ, kết luận nhầm "không hợp lệ" | Chỉ xét các dòng mọi tiền đề đều đúng |
| Tính sai phép kéo theo ở dòng vế trước sai | Cột → sai, cả bảng sai theo | Nhớ: → chỉ sai khi Đ → S |
| Thiếu hoặc lặp dòng | Bỏ sót đúng dòng phản ví dụ | Theo quy ước chia đôi – chia tư – luân phiên; đếm đủ 2ⁿ |
| Đặt hai chữ cái cho cùng một câu (hoặc một chữ cho hai câu khác nhau) | Bảng kiểm một lập luận khác với lập luận thật | Ghi rõ bảng "chữ cái = câu" trước khi lập |
| Coi "hợp lệ" là "kết luận đúng" | Hiểu sai ý nghĩa kết quả | Bảng chỉ kiểm hình thức; tiền đề có đúng thật không là chuyện khác |
Một giới hạn cần biết: bảng chân trị chỉ dùng cho logic mệnh đề. Lập luận có "mọi", "có một" (như "mọi học sinh lớp 9A…") cần công cụ của logic vị từ, nơi không có bảng hữu hạn nào liệt kê hết được các trường hợp.
Về lịch sử, bảng chân trị dạng quen thuộc thường được gắn với Tractatus của Ludwig Wittgenstein và một bài báo của Emil Post, cùng năm 1921; dấu vết sớm hơn có trong các ghi chép của Charles S. Peirce.
Bài tập
- p ∨ q; ¬q; vậy p. Đáp án: Hợp lệ. Suy ngược: p sai, q sai (vì ¬q đúng) ⇒ p ∨ q sai — mâu thuẫn.
- p → q; vậy q → p. Đáp án: Không hợp lệ. Phản ví dụ: p sai, q đúng.
- "Nếu có vé và có xe đưa đón thì cả nhóm đi xem bóng đá. Vậy nếu có vé thì cả nhóm đi xem." — (p ∧ q) → r; vậy p → r. Đáp án: Không hợp lệ. Phản ví dụ: p đúng, q sai, r sai — có vé, không có xe, không đi.
- ¬(p ∧ q); p; vậy ¬q. Đáp án: Hợp lệ. Suy ngược: q đúng, p đúng ⇒ p ∧ q đúng ⇒ tiền đề 1 sai — mâu thuẫn.
- p → q; ¬p → q; vậy q. Đáp án: Hợp lệ. Suy ngược: q sai ⇒ p sai (từ tiền đề 1) ⇒ ¬p đúng ⇒ q đúng (từ tiền đề 2) — mâu thuẫn.
Dùng vào đâu
- Bài tập Logic học đại cương và toán rời rạc: dạng "kiểm tra tính hợp lệ của lập luận" gần như luôn giải bằng một trong hai cách ở trên.
- Kiểm điều kiện trong code: hai biểu thức điều kiện có tương đương không — lập bảng là chắc nhất.
- Đọc quy định nhiều tầng "nếu… và… hoặc…": tìm một tình huống mà mọi điều khoản đều thoả nhưng kết quả trái với điều người soạn muốn.
- Học tiếp: suy diễn tự nhiên — thay vì kiểm bằng bảng, viết hẳn một chứng minh từng dòng.
Câu hỏi thường gặp
Làm sao dùng bảng chân trị để kiểm một lập luận?
Lập bảng với mọi cách gán đúng sai cho các câu đơn, tính cột của từng tiền đề và kết luận. Nếu có dòng mà mọi tiền đề đúng nhưng kết luận sai thì lập luận không hợp lệ; nếu không có dòng nào như vậy thì lập luận hợp lệ.
Dòng phản ví dụ là gì?
Là dòng trong bảng chân trị mà tất cả tiền đề đều đúng còn kết luận sai. Chỉ cần một dòng như vậy là đủ chứng tỏ khuôn lập luận không hợp lệ.
Lập luận có ba biến thì bảng chân trị có bao nhiêu dòng?
Có 2³ = 8 dòng. Tổng quát, n câu đơn cho 2ⁿ dòng, nên với nhiều biến người ta thường dùng cách suy ngược: giả sử kết luận sai, tiền đề đúng rồi tìm mâu thuẫn.
Bảng chân trị có kiểm được mọi lập luận không?
Không. Nó chỉ kiểm được lập luận của logic mệnh đề, tức lập luận ghép từ các câu bằng "và, hoặc, không, nếu… thì". Lập luận có "mọi", "có một" cần công cụ của logic vị từ.