Tam đoạn luận giả định và tam đoạn luận lựa chọn trong logic

Tam đoạn luận giả định (thuần tuý) là suy luận bắc cầu: từ "nếu p thì q" và "nếu q thì r", suy ra "nếu p thì r". Tam đoạn luận lựa chọn là suy luận loại trừ: từ "p hoặc q" và "không p", suy ra "q". Cả hai đều hợp lệ; lỗi hay gặp nằm ở biến thể "p hoặc q; p; vậy không q", chỉ đúng khi chữ "hoặc" mang nghĩa loại trừ.

Tên gọi: mỗi giáo trình gọi một kiểu

"Tam đoạn luận" ở đây chỉ có nghĩa là lập luận gồm hai tiền đề và một kết luận, không phải tam đoạn luận nhất quyết kiểu "mọi M là P" của Aristotle. Các giáo trình Logic học đại cương ở Việt Nam dùng tên khá khác nhau: suy luận điều kiện thuần tuý, tam đoạn luận có điều kiện, suy luận lựa chọn – nhất quyết… Sách tiếng Anh gọi hai khuôn chính là hypothetical syllogism và disjunctive syllogism. Tên khác nhau nhưng khuôn thì một.

Ký hiệu dùng trong bài: p, q, r là các câu đơn; → là "nếu… thì…"; ¬ là "không"; ∨ là "hoặc" theo nghĩa bao hàm — p ∨ q đúng khi ít nhất một trong hai vế đúng, kể cả khi cả hai cùng đúng.

Tam đoạn luận giả định: nối các câu "nếu" thành chuỗi

Ví dụ: "Nếu mưa to thì con hẻm trước nhà ngập. Nếu hẻm ngập thì phải dắt xe máy ra đầu ngõ. Vậy nếu mưa to thì phải dắt xe ra đầu ngõ."

Chú ý kết luận vẫn là một câu điều kiện. Lập luận này không nói hôm nay phải dắt xe; nó chỉ nối hai mắt xích thành một. Muốn ra kết luận "phải dắt xe" thì cần thêm dữ kiện "trời đang mưa to" rồi dùng modus ponens.

Kiểm bằng bảng chân trị

Ba biến cho 2³ = 8 dòng. Ghi Đ là đúng, S là sai.

Bốn dòng có hai tiền đề cùng đúng, và ở cả bốn dòng p → r đều đúng. Không có dòng phản ví dụ: khuôn hợp lệ. Lý giải bằng lời còn nhanh hơn: muốn p → r sai thì p đúng, r sai; p đúng kéo q đúng (mắt xích 1), q đúng kéo r đúng (mắt xích 2) — đụng r sai.

Lỗi đứt mắt xích

"Nếu ăn mặn thì khát nước. Nếu chạy bộ thì khát nước. Vậy nếu ăn mặn thì chạy bộ." Nghe đã thấy buồn cười, nhưng khi nội dung kém rõ ràng thì lỗi này lọt qua dễ dàng. Khuôn là p → q; r → q; vậy p → r. Hai mắt xích cùng đi tới q chứ không nối với nhau. Phản ví dụ: p đúng, q đúng, r sai (ăn mặn, khát, không chạy bộ) — hai tiền đề đúng, kết luận p → r sai.

Quy tắc dễ nhớ: hậu kiện của mắt xích trước phải trùng tiền kiện của mắt xích sau. Chuỗi p → q, q → r, r → s cho p → s; xếp lộn thứ tự thì phải sắp lại trước khi nối.

Tam đoạn luận lựa chọn: loại một ngả, còn ngả kia

Ví dụ: "Chìa khoá xe ở trong cặp hoặc trong ngăn bàn. Lục cặp không thấy. Vậy chìa khoá ở ngăn bàn."

Đây là khuôn p ∨ q; ¬p; vậy q — tiếng Latin gọi là modus tollendo ponens, "phủ định để khẳng định". Nó hợp lệ: nếu q cũng sai thì cả hai vế đều sai, trái với tiền đề "p hoặc q".

Nhiều vế cũng vậy: "Đồng hồ treo tường đứng vì hết pin, hỏng máy, hoặc gãy kim. Thay pin mới vẫn đứng (không phải hết pin). Kim còn nguyên. Vậy hỏng máy." Mỗi lần loại một vế, danh sách ngắn lại; còn một vế thì vế đó phải đúng. Cách giải câu đố bằng bảng loại trừ dựa đúng vào khuôn này.

Lập luận hợp lệ, nhưng tiền đề có đủ ngả không?

Kết luận "chìa khoá ở ngăn bàn" chỉ chắc khi tiền đề lựa chọn đủ ngả. Nếu chìa khoá thật ra nằm trong túi áo khoác, tiền đề "trong cặp hoặc trong ngăn bàn" sai, và lập luận — vẫn hợp lệ — mất tính vững. Khi đưa ra danh sách lựa chọn, câu cần tự hỏi là: đã liệt kê hết chưa?

Cái bẫy của chữ "hoặc"

Biến thể còn lại: p ∨ q; p; vậy ¬q — "khẳng định để phủ định" (modus ponendo tollens).

"Cuối tuần này Lan đi bơi hoặc đi thư viện. Lan đã đi bơi. Vậy Lan không đi thư viện." Nghe hợp lý, nhưng với "hoặc" bao hàm thì sai: Lan hoàn toàn có thể bơi buổi sáng, đi thư viện buổi chiều. Dòng p đúng, q đúng làm p ∨ q đúng, p đúng, mà ¬q sai — phản ví dụ.

Khuôn này chỉ hợp lệ khi hai vế không thể cùng đúng, tức "hoặc" loại trừ. "Bạn Hùng học lớp 7A hoặc lớp 7B. Hùng học 7A. Vậy Hùng không học 7B." — hợp lệ, vì một học sinh chỉ thuộc một lớp. Nhưng lưu ý: cái làm nó hợp lệ là kiến thức thêm "không ai học hai lớp", và kiến thức đó phải được tính như một tiền đề.

Hai cột chỉ khác nhau ở dòng đầu — đúng dòng mà khuôn "khẳng định để phủ định" vấp phải. Logic hiện đại mặc định "hoặc" là bao hàm; khi cần nghĩa loại trừ thì viết rõ "hoặc… hoặc…, nhưng không cả hai". Chuyện người Việt nói "trà hoặc cà phê" theo nghĩa nào là đề tài của logic trong lời nói hằng ngày.

Bài tập

1. "Nếu học đều thì nắm chắc bài. Nếu nắm chắc bài thì làm bài kiểm tra tốt. Vậy nếu học đều thì làm bài kiểm tra tốt." Đáp án: Hợp lệ — tam đoạn luận giả định.
2. "Bóng đèn tắt vì cháy bóng hoặc mất điện. Đèn bàn bên cạnh vẫn sáng, tức không mất điện. Vậy bóng đã cháy." Đáp án: Hợp lệ — lựa chọn, phủ định để khẳng định (vững nếu danh sách nguyên nhân đủ; còn khả năng công tắc hỏng).
3. "Muốn vào đội tuyển phải giỏi Toán hoặc giỏi Tin. Nam giỏi Toán. Vậy Nam không giỏi Tin." Đáp án: Không hợp lệ — "hoặc" bao hàm, Nam có thể giỏi cả hai.
4. "Nếu trời lạnh thì mặc áo khoác. Nếu trời mưa thì mặc áo khoác. Vậy nếu trời lạnh thì trời mưa." Đáp án: Không hợp lệ — đứt mắt xích (p → q; r → q; vậy p → r).
5. Từ p → q, q → r, r → s và ¬s, suy ra được gì? Đáp án: Bắc cầu được p → s; cùng với ¬s, modus tollens cho ¬p.
6. Từ p ∨ q ∨ r, ¬p, ¬r suy ra gì? Đáp án: q.

Dùng vào đâu

• Dò lỗi theo kiểu loại trừ: liệt kê các nguyên nhân có thể, kiểm từng cái, gạch dần. Điểm yếu luôn là danh sách có đủ không.
• Lập trình: chuỗi if – else if – else là tam đoạn luận lựa chọn: tới được nhánh else nghĩa là mọi điều kiện trước đều sai.
• Chứng minh toán: chuỗi "⇒ … ⇒ …" trong bài giải là các tam đoạn luận giả định nối nhau; chỉ cần một mũi tên sai chiều là cả chuỗi hỏng.
• Học tiếp: song đề, nơi "nếu" và "hoặc" kết hợp trong cùng một lập luận; và suy diễn tự nhiên, nơi hai khuôn này trở thành quy tắc dẫn xuất.