Biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu: nghiệm bị loại vì điều kiện

Biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu gồm bốn bước: đặt điều kiện xác định (mọi mẫu khác 0), quy đồng và khử mẫu để được phương trình đa thức, biện luận phương trình đa thức đó theo m, rồi loại những nghiệm trùng với giá trị làm mẫu bằng 0. Bước cuối là chỗ đổi đáp số: có những giá trị m mà phương trình đa thức có nghiệm, nhưng nghiệm đó rơi đúng vào chỗ cấm, nên phương trình ban đầu vô nghiệm.

Bài này đi qua ba ví dụ, từ dễ đến khó: một phương trình quy về bậc nhất, một phương trình quy về bậc hai có một nghiệm bị loại, và một trường hợp nghiệm kép rơi vào chỗ cấm.

Vì sao khử mẫu có thể sinh nghiệm thừa

Khi nhân hai vế với mẫu chứa x, ta làm một phép biến đổi hệ quả, không phải tương đương. Phương trình mới nhận mọi nghiệm của phương trình cũ, nhưng có thể nhận thêm cả những giá trị làm mẫu bằng 0. Lý do: tại giá trị đó, ta đã nhân hai vế với số 0, và đẳng thức 0 = 0 thì luôn đúng.

Ví dụ không có tham số: x/(x − 1) = 1/(x − 1). Nhân hai vế với (x − 1) được x = 1. Nhưng x = 1 làm mẫu bằng 0, nên bị loại. Phương trình ban đầu vô nghiệm. Khi có tham số m, câu hỏi trở thành: với m nào thì nghiệm của phương trình đa thức rơi vào chỗ cấm?

Phương pháp chung

1. Điều kiện xác định: liệt kê mọi giá trị x làm mẫu bằng 0, ghi x ≠ … .
2. Quy đồng, khử mẫu, thu gọn về phương trình đa thức (thường là bậc nhất hoặc bậc hai) có tham số m.
3. Biện luận phương trình đa thức như bình thường: xét hệ số bậc cao nhất bằng 0, xét Δ nếu là bậc hai.
4. Tìm m làm nghiệm rơi vào chỗ cấm: thay x bằng giá trị cấm vào phương trình đa thức, giải ra m. Với mỗi m đó, xem phương trình đa thức còn nghiệm nào khác không.
5. Gom kết luận, ghi rõ số nghiệm của phương trình ban đầu.

Mẹo ở bước 4: không cần giải nghiệm rồi so; chỉ cần thay giá trị cấm vào phương trình đa thức. Nếu đẳng thức đúng với m nào thì đó là m cần xét.

Ví dụ 1: (mx + 1)/(x − 2) = 3

Điều kiện và khử mẫu

Điều kiện: x ≠ 2. Nhân hai vế với (x − 2): mx + 1 = 3x − 6, tức (m − 3)x = −7.

Biện luận phương trình bậc nhất

• m = 3: 0x = −7, vô nghiệm.
• m ≠ 3: x = −7/(m − 3) = 7/(3 − m).

Đối chiếu điều kiện x ≠ 2

Nghiệm bị loại khi 7/(3 − m) = 2 ⇔ 7 = 6 − 2m ⇔ m = −1/2. Cách thay trực tiếp: đặt x = 2 vào (m − 3)x = −7 được 2m − 6 = −7, nên m = −1/2. Cùng kết quả.

Kết luận

Với m = 3 hoặc m = −1/2: phương trình vô nghiệm. Với m khác hai giá trị đó: nghiệm duy nhất x = 7/(3 − m).

Thử lại

m = 1: (x + 1)/(x − 2) = 3 ⇒ x + 1 = 3x − 6 ⇒ x = 7/2. Công thức 7/(3 − 1) = 7/2. Kiểm: (7/2 + 1)/(7/2 − 2) = (9/2)/(3/2) = 3. Đúng.

m = −1/2: vế trái là (−x/2 + 1)/(x − 2) = −(x − 2)/[2(x − 2)] = −1/2 với mọi x ≠ 2. Vế trái luôn bằng −1/2, không bao giờ bằng 3. Vô nghiệm thật. Khớp.

Ví dụ 2: (x² − 3x + m)/(x − 1) = 0

Điều kiện và khử mẫu

Điều kiện x ≠ 1. Phân thức bằng 0 ⇔ tử bằng 0 và mẫu khác 0, nên ta giải x² − 3x + m = 0 với x ≠ 1.

Biện luận phương trình bậc hai

Δ = 9 − 4m.

• m > 9/4: Δ < 0, vô nghiệm.
• m = 9/4: nghiệm kép x = 3/2.
• m < 9/4: hai nghiệm phân biệt.

Khi nào có nghiệm x = 1?

Thay x = 1: 1 − 3 + m = 0 ⇔ m = 2. Với m = 2, phương trình là x² − 3x + 2 = 0, nghiệm 1 và 2. Nghiệm 1 bị loại, còn lại x = 2.

Nghiệm kép 3/2 ở m = 9/4 khác 1 nên không bị loại.

Kết luận

• m > 9/4: vô nghiệm.
• m = 9/4: một nghiệm x = 3/2.
• m = 2: một nghiệm x = 2.
• m < 9/4 và m ≠ 2: hai nghiệm phân biệt.

Câu hỏi "tìm m để phương trình có đúng một nghiệm" vì thế có hai đáp số: m = 9/4 hoặc m = 2. Người quên đối chiếu điều kiện chỉ trả lời m = 9/4.

Thử lại

m = 0: tử x² − 3x = x(x − 3), nghiệm 0 và 3, đều khác 1. Hai nghiệm. Kiểm x = 3: (9 − 9 + 0)/2 = 0. Đúng.

Ví dụ 3: (2x + m)/(x − 1) = x + 1 — nghiệm kép rơi vào chỗ cấm

Khử mẫu

Điều kiện x ≠ 1. Nhân hai vế: 2x + m = (x + 1)(x − 1) = x² − 1. Chuyển vế: x² − 2x − 1 − m = 0.

Biện luận

Δ' = 1 + 1 + m = m + 2.

Thay x = 1 vào phương trình đa thức: 1 − 2 − 1 − m = 0 ⇔ m = −2. Đúng tại giá trị m làm Δ' = 0. Nghĩa là khi m = −2, phương trình đa thức có nghiệm kép x = 1, và nghiệm kép này bị loại. Phương trình ban đầu vô nghiệm.

Với m > −2: hai nghiệm x = 1 ± √(m + 2). Vì √(m + 2) > 0 nên không nghiệm nào bằng 1. Hai nghiệm đều nhận.

Kết luận

m ≤ −2: vô nghiệm. m > −2: hai nghiệm phân biệt x = 1 ± √(m + 2).

Thử lại

m = 2: nghiệm 1 ± 2, tức x = 3 và x = −1. Kiểm x = 3: (6 + 2)/2 = 4 và 3 + 1 = 4. Đúng. Kiểm x = −1: (−2 + 2)/(−2) = 0 và −1 + 1 = 0. Đúng.

m = −2: vế trái (2x − 2)/(x − 1) = 2 với mọi x ≠ 1. Phương trình thành 2 = x + 1, tức x = 1, bị loại. Vô nghiệm. Khớp.

Bảng kết luận biện luận

Lỗi hay gặp

• Quên đặt điều kiện xác định ngay từ đầu, rồi cũng quên luôn bước loại nghiệm.
• Đặt điều kiện nhưng không đối chiếu sau khi biện luận. Ví dụ 2 và 3 cho thấy đáp số thay đổi hẳn.
• Kết luận "nghiệm kép" cho phương trình ban đầu ở ví dụ 3 khi m = −2. Nghiệm kép của phương trình đa thức không tự động là nghiệm của phương trình chứa mẫu.
• Đếm sai số nghiệm khi một nghiệm bị loại: phương trình đa thức có hai nghiệm, loại một, phương trình ban đầu còn đúng một, không phải vô nghiệm.
• Quy đồng sai, nhất là khi có nhiều mẫu khác nhau. Nên tìm mẫu chung nhỏ nhất và ghi điều kiện cho từng mẫu.
• Quên xét hệ số bậc cao nhất bằng 0 sau khi khử mẫu, như trường hợp m = 3 ở ví dụ 1.

Dùng vào đâu

• Thi cử: đề "tìm m để phương trình chứa ẩn ở mẫu có nghiệm / có hai nghiệm phân biệt" kiểm tra đúng thói quen đối chiếu điều kiện.
• Bài toán hàm phân thức: câu hỏi đồ thị hàm phân thức có tiệm cận đứng hay không cũng xoay quanh chuyện tử và mẫu có nghiệm chung. Phần đó thuộc danh mục biện luận bằng hàm số và đồ thị.
• Suy luận nói chung: phép biến đổi hệ quả cho ra ứng viên, không cho ra kết luận. Ứng viên nào cũng phải đem kiểm lại với điều kiện ban đầu. Thói quen này dùng được cả ngoài toán học.