Chứng minh là thao tác logic dùng những phán đoán đã biết là đúng (luận cứ) để rút ra tính đúng của một phán đoán cần xác lập (luận đề), theo một cách thức suy luận hợp lệ (luận chứng). Bác bỏ là thao tác ngược lại: chỉ ra luận đề sai, hoặc chỉ ra luận cứ, luận chứng của người khác không đứng vững. Mỗi thành phần có quy tắc riêng, và chỉ bác bỏ được luận đề thì mới được nói luận đề ấy sai.
Ba thành phần của một phép chứng minh
Lấy một chứng minh quen thuộc ở lớp 6 – 7: tổng của hai số lẻ là số chẵn.
- Luận đề — điều cần chứng minh: "Tổng của hai số lẻ bất kỳ là số chẵn."
- Luận cứ — những điều đã biết là đúng, dùng làm căn cứ: mọi số lẻ viết được dưới dạng 2a + 1 với a nguyên; tổng các số nguyên là số nguyên; số viết được dưới dạng 2k với k nguyên là số chẵn.
- Luận chứng — cách nối luận cứ với luận đề: lấy hai số lẻ 2a + 1 và 2b + 1. Tổng của chúng là 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1). Vì a + b + 1 là số nguyên, tổng có dạng 2k, nên là số chẵn.
Thử lại bằng số cụ thể: a = 1, b = 4 cho hai số lẻ 3 và 9; tổng là 12; a + b + 1 = 6 và 2 × 6 = 12, khớp.
Ba thành phần này cũng chính là bộ ba "luận điểm – luận cứ – lập luận" mà học sinh gặp trong môn Ngữ văn khi viết bài nghị luận. Tên gọi khác nhau đôi chút, khung tư duy là một.
Quy tắc đối với luận đề
- Luận đề phải rõ ràng, chính xác. "Học sinh bây giờ học nhiều quá" chưa phải luận đề chứng minh được: "học sinh" là ai, "nhiều" so với gì? Viết lại thành "Học sinh lớp 9 ở trường X học thêm trung bình trên 10 giờ mỗi tuần" thì mới có cái để chứng minh hay bác bỏ.
- Luận đề phải giữ nguyên trong suốt quá trình chứng minh. Đây là quy luật đồng nhất áp vào chứng minh. Vi phạm có ba dạng:
- Đánh tráo luận đề: chứng minh một điều khác rồi coi như xong.
- Chứng minh quá ít: chứng minh một điều yếu hơn luận đề. Cần chứng minh "mọi tam giác có tổng ba góc bằng 180°" mà chỉ làm cho tam giác vuông.
- Chứng minh quá nhiều: cố chứng minh một điều mạnh hơn luận đề, và điều mạnh hơn ấy lại sai. Muốn chứng minh "Nam có mặt ở lớp sáng thứ Hai" mà lại khẳng định "Nam có mặt ở lớp cả tuần", trong khi Nam nghỉ thứ Tư, thì người nghe bác được cả lời khẳng định — kéo theo nghi ngờ cả phần đúng.
Quy tắc đối với luận cứ và luận chứng
Luận cứ
- Phải chân thực: đúng và đã được kiểm chứng. Luận cứ sai thì cả phép chứng minh đổ.
- Phải được chứng minh độc lập với luận đề: không được dùng luận đề (hoặc một điều chỉ đúng khi luận đề đúng) làm luận cứ. Vi phạm là lỗi vòng quanh. "Mình luôn nói thật, nên lời mình nói bây giờ là thật" — luận cứ đòi người nghe đã tin sẵn điều cần chứng minh.
- Phải đủ để rút ra luận đề — yêu cầu của quy luật lý do đầy đủ.
Luận chứng
Luận đề phải được rút ra từ luận cứ theo đúng quy tắc suy luận, một cách tất yếu. Hai ví dụ cho thấy luận chứng hỏng mà luận cứ không hề sai:
- "3 + 5 = 8, 7 + 9 = 16, 11 + 13 = 24 — đều chẵn. Vậy tổng hai số lẻ luôn chẵn." Luận cứ đúng, luận đề cũng đúng, nhưng đây không phải chứng minh: kiểm vài trường hợp không bảo đảm cho vô số trường hợp còn lại.
- "Nếu n chia hết cho 6 thì n chẵn. Số 14 chẵn. Vậy 14 chia hết cho 6." Luận cứ đúng, nhưng cách suy ra là lỗi khẳng định hậu kiện; kết luận sai thật (14 : 6 không ra số nguyên).
Chứng minh trực tiếp và gián tiếp
Giáo trình chia chứng minh thành hai cách, chỉ cần nắm khung (kỹ thuật chi tiết là chuyện của môn toán):
- Trực tiếp: đi thẳng từ luận cứ tới luận đề, như ví dụ tổng hai số lẻ.
- Gián tiếp bằng phản chứng: giả sử phán đoán mâu thuẫn với luận đề là đúng, suy ra một điều vô lý; theo quy luật cấm mâu thuẫn và bài trung, phản luận đề sai nên luận đề đúng.
- Gián tiếp bằng loại trừ: liệt kê đủ mọi khả năng, loại dần từng khả năng sai cho tới khi chỉ còn luận đề. Phép này chỉ chắc khi danh sách khả năng thật sự đầy đủ — đúng như quy tắc phân chia khái niệm cân đối.
Bác bỏ: nhắm vào đâu thì được gì
| Nhắm vào | Cách làm | Kết quả đạt được |
|---|---|---|
| Luận đề | Đưa phản ví dụ; rút ra hệ quả sai; chứng minh phán đoán mâu thuẫn với nó | Luận đề sai |
| Luận cứ | Chỉ ra luận cứ sai, chưa kiểm chứng, vòng quanh | Luận đề chưa được chứng minh |
| Luận chứng | Chỉ ra luận đề không suy ra được từ luận cứ | Luận đề chưa được chứng minh |
Bác bỏ luận đề bằng phản ví dụ
Khẳng định: "Với mọi số tự nhiên n, số n² + n + 41 là số nguyên tố." Thử n = 0, 1, 2 được 41, 43, 47, đều nguyên tố, và cứ thế tới n = 39 vẫn ra số nguyên tố. Nhưng với n = 40: 40² + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41 × 41. Một phản ví dụ là đủ: luận đề kiểu "mọi" mâu thuẫn với phán đoán "có ít nhất một trường hợp không", nên phản ví dụ đúng thì luận đề sai. Ví dụ này cũng cho thấy vì sao kiểm nhiều trường hợp chưa bao giờ là chứng minh.
Bác bỏ luận đề qua hệ quả
Gọi p là luận đề, q là một hệ quả của nó. Dùng ký hiệu → là "nếu… thì…", ¬ là "không": từ p → q và ¬q suy ra ¬p (quy tắc modus tollens). Ví dụ: Tú nói "tối qua mình ở nhà suốt". Nếu đúng thì Tú không thể có mặt ở sân bóng lúc 8 giờ tối. Đoạn phim của đội bóng cho thấy Tú đá bóng ở sân lúc 8 giờ. Hệ quả sai, nên lời "ở nhà suốt" sai.
Bác bỏ luận cứ, luận chứng — và giới hạn của nó
Đây là chỗ hay bị lạm dụng. Chỉ ra ai đó chứng minh dở không có nghĩa là điều họ nói sai. Người khẳng định "tổng hai số lẻ là số chẵn" bằng cách thử ba ví dụ có luận chứng hỏng, nhưng luận đề vẫn đúng. Kết luận đúng khi bác luận chứng chỉ là: "lập luận này chưa chứng minh được điều đó".
Một điều nữa cũng đáng nhớ: bác bỏ một luận đề "mọi…" thì dễ (một phản ví dụ), còn bác bỏ một luận đề "có tồn tại…" thì khó hơn nhiều, vì phải chứng minh rằng không có trường hợp nào.
Dùng vào đâu
- Viết bài nghị luận: tách rõ luận điểm, luận cứ, lập luận; kiểm từng phần theo quy tắc trong bài này trước khi nộp.
- Làm toán: một lời giải đầy đủ là một phép chứng minh; thầy cô trừ điểm vì "thiếu lập luận" chính là trừ vì luận chứng hở.
- Đọc tranh luận, phản hồi ý kiến: trước khi nói "sai rồi", tự hỏi mình đang bác luận đề hay chỉ bác luận cứ, luận chứng.
- Khiếu nại, đề xuất: luận đề rõ ("đơn hàng giao thiếu 2 món"), luận cứ kiểm chứng được (hoá đơn, ảnh chụp), luận chứng gọn — người nhận khó bác.
- Thi cử: câu hỏi "chỉ ra luận đề, luận cứ, luận chứng và đánh giá phép chứng minh" có trong đề Logic học đại cương.
Bài tập
- Chỉ ra ba thành phần: "Số 111 chia hết cho 3, vì tổng các chữ số 1 + 1 + 1 = 3 chia hết cho 3, mà số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3." Đáp án: luận đề: 111 chia hết cho 3; luận cứ: tổng chữ số bằng 3 và dấu hiệu chia hết cho 3; luận chứng: áp quy tắc vào trường hợp cụ thể. Thử lại: 111 = 3 × 37.
- Bác bỏ: "Mọi số nguyên tố đều lẻ." Đáp án: phản ví dụ số 2 — nguyên tố và chẵn.
- "Bạn sai rồi, vì cách bạn giải thích lộn xộn quá." Đã bác bỏ luận đề chưa? Đáp án: chưa. Nhiều nhất là bác luận chứng; luận đề chỉ chuyển sang "chưa được chứng minh".
- Cần chứng minh "cả lớp đã đóng quỹ", người nói chỉ đưa danh sách 30/35 bạn đã đóng. Lỗi gì? Đáp án: chứng minh quá ít — mới chứng minh được 30 bạn đã đóng; với 5 bạn còn lại chưa có căn cứ nào, nên luận đề "cả lớp" chưa được chứng minh.
- Kiểm phản ví dụ: với n = 41, số n² + n + 41 có nguyên tố không? Đáp án: không. 41² + 41 + 41 = 1681 + 82 = 1763 = 41 × 43.
Câu hỏi thường gặp
Luận đề, luận cứ, luận chứng là gì?
Luận đề là phán đoán cần chứng minh. Luận cứ là những phán đoán đã biết là đúng, dùng làm căn cứ. Luận chứng là cách thức suy luận nối luận cứ với luận đề. Trong môn Ngữ văn, ba thành phần này tương ứng với luận điểm, luận cứ và lập luận.
Các quy tắc chứng minh trong logic học là gì?
Luận đề phải rõ ràng và giữ nguyên suốt quá trình chứng minh. Luận cứ phải chân thực, được chứng minh độc lập với luận đề và đủ để rút ra luận đề. Luận chứng phải tuân quy tắc suy luận để luận đề được rút ra một cách tất yếu.
Bác bỏ là gì, có mấy cách bác bỏ?
Bác bỏ là thao tác chỉ ra một phép chứng minh không đứng vững. Có ba hướng: bác bỏ luận đề (bằng phản ví dụ, bằng hệ quả sai, hoặc chứng minh phán đoán mâu thuẫn với nó), bác bỏ luận cứ và bác bỏ luận chứng. Chỉ hướng thứ nhất mới cho phép kết luận luận đề sai.
Bác bỏ luận cứ có làm luận đề sai không?
Không. Bác bỏ luận cứ hay luận chứng chỉ cho thấy luận đề chưa được chứng minh. Luận đề vẫn có thể đúng nhờ một chứng minh khác, như "tổng hai số lẻ là số chẵn" vẫn đúng dù ai đó chứng minh bằng cách chỉ thử vài ví dụ.
Chứng minh quá nhiều và chứng minh quá ít là gì?
Chứng minh quá ít là chỉ chứng minh một điều yếu hơn luận đề, như chứng minh cho tam giác vuông mà luận đề nói về mọi tam giác. Chứng minh quá nhiều là cố chứng minh một điều mạnh hơn luận đề, để rồi điều mạnh hơn ấy bị bác và kéo theo nghi ngờ cả phần đúng.
