Định nghĩa khái niệm: quy tắc và lỗi quá rộng, quá hẹp, vòng quanh

Định nghĩa khái niệm là thao tác vạch ra những dấu hiệu cơ bản trong nội hàm của khái niệm, đủ để phân biệt nó với mọi khái niệm khác. Cách định nghĩa phổ biến nhất là nêu khái niệm giống gần nhất cộng với dấu hiệu khác biệt về loài. Một định nghĩa đúng phải tuân bốn quy tắc: cân đối, không vòng quanh, rõ ràng và không phủ định khi có thể khẳng định; vi phạm quy tắc cân đối sinh ra lỗi quá rộng hoặc quá hẹp, vi phạm quy tắc thứ hai sinh ra lỗi vòng quanh.

Một định nghĩa gồm những phần nào

Xét câu: "Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau." Câu này có hai vế:

• Khái niệm được định nghĩa: "hình vuông" — cái ta muốn làm rõ.
• Khái niệm dùng để định nghĩa: "hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau" — cái ta đưa ra để làm rõ nó.

Yêu cầu cốt lõi: hai vế phải chỉ vào đúng cùng một nhóm đối tượng, không thừa không thiếu. Nói theo bài trước, ngoại diên của hai vế phải đồng nhất. Mọi quy tắc phía sau đều xoay quanh yêu cầu này và yêu cầu vế sau phải dễ hiểu hơn vế trước.

Định nghĩa qua giống gần nhất và khác biệt về loài

Cách làm có hai bước:

1. Tìm khái niệm giống gần nhất: khái niệm rộng hơn, chứa trọn khái niệm cần định nghĩa, và càng sát càng tốt. Với "hình vuông", giống gần nhất là "hình chữ nhật" (hoặc "hình thoi").
2. Tìm dấu hiệu khác biệt: dấu hiệu tách khái niệm cần định nghĩa ra khỏi các loài khác trong cùng giống. Trong các hình chữ nhật, hình vuông là loại có hai cạnh kề bằng nhau.

Vì sao phải là giống gần nhất? Chọn giống quá xa thì phải bù nhiều dấu hiệu. "Hình vuông là đa giác có bốn cạnh, bốn góc vuông và các cạnh bằng nhau" không sai, nhưng dài dòng hơn hẳn. Thêm vài ví dụ đúng chuẩn:

• "Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước là 1 và chính nó."
• "Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song."
• "Sinh viên là người đang theo học chương trình cao đẳng hoặc đại học."

Những kiểu định nghĩa khác

• Định nghĩa nguồn gốc: nêu cách đối tượng hình thành. "Mặt cầu là mặt sinh ra khi quay một nửa đường tròn quanh đường kính của nó."
• Định nghĩa bằng liệt kê: kể hết ngoại diên khi nó ngắn. "Kim loại kiềm gồm liti, natri, kali, rubiđi, xesi và franxi."
• Định nghĩa qua quan hệ: dùng cho những khái niệm rộng nhất (phạm trù), không còn giống nào chứa chúng, nên phải định nghĩa qua quan hệ với khái niệm đối lập.
• Định nghĩa quy ước: đặt nghĩa cho một từ trong phạm vi một văn bản. "Trong hợp đồng này, ngày làm việc là các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu, trừ ngày nghỉ lễ." Irving Copi trong Introduction to Logic tách loại này khỏi định nghĩa theo từ điển: định nghĩa quy ước không đúng không sai, chỉ tiện hay không tiện, còn định nghĩa theo từ điển thì có thể sai so với cách người ta thật sự dùng từ.

Bốn quy tắc và các lỗi tương ứng

Lỗi vòng quanh có hai dạng

Dạng một bước là dùng ngay khái niệm cần định nghĩa (hoặc từ cùng gốc) ở vế sau: "Logic học là khoa học về logic." Người chưa biết logic là gì đọc xong vẫn chưa biết. Dạng hai bước khó nhận ra hơn: định nghĩa A qua B, rồi ở chỗ khác lại định nghĩa B qua A. "Số chẵn là số nguyên không lẻ; số lẻ là số nguyên không chẵn." Mỗi câu riêng lẻ nghe ổn, ghép lại thì vòng tròn khép kín, không câu nào cho ta dấu hiệu thật. Cách thoát: định nghĩa một trong hai bằng dấu hiệu độc lập, ví dụ "số chẵn là số nguyên chia hết cho 2".

Khi nào định nghĩa phủ định được chấp nhận

Quy tắc 4 có chữ "khi có thể". Có những khái niệm tự bản chất là phủ định, và định nghĩa phủ định là cách chính xác nhất. "Số vô tỉ là số thực không viết được dưới dạng phân số a/b với a, b là số nguyên và b ≠ 0" là định nghĩa chuẩn trong chương trình phổ thông. Nó đúng vì giống gần nhất "số thực" đã được nêu, và phần phủ định chỉ cắt ra phần còn lại.

Kiểm một định nghĩa bằng phản ví dụ hai chiều

Quy tắc cân đối kiểm được một cách có hệ thống. Viết vài ký hiệu, giải nghĩa ngay: D(x) là "x thuộc khái niệm được định nghĩa", N(x) là "x thoả vế định nghĩa"; → là "nếu… thì…"; ↔ là "khi và chỉ khi". Một định nghĩa cân đối đòi D(x) ↔ N(x) với mọi x, tức là hai chiều:

• Chiều N(x) → D(x): thứ gì thoả vế định nghĩa thì đều thuộc khái niệm. Tìm được một thứ thoả N mà không thuộc D thì định nghĩa quá rộng.
• Chiều D(x) → N(x): thứ gì thuộc khái niệm thì đều thoả vế định nghĩa. Tìm được một thứ thuộc D mà không thoả N thì định nghĩa quá hẹp.

Thử với câu: "Hình chữ nhật là tứ giác có hai đường chéo bằng nhau."

• Chiều D → N: mọi hình chữ nhật đều có hai đường chéo bằng nhau. Chiều này ổn.
• Chiều N → D: hình thang cân cũng có hai đường chéo bằng nhau mà không phải hình chữ nhật. Phản ví dụ xuất hiện, định nghĩa quá rộng.

Sửa: "Hình chữ nhật là tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường." Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác là hình bình hành; hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. Hình thang cân (không phải hình chữ nhật) bị loại vì hai đường chéo của nó không cắt nhau tại trung điểm. Kiểm lại cả hai chiều đều qua.

Thói quen nên tập: mỗi khi đọc một định nghĩa, tự hỏi "có cái gì lọt vào mà không nên lọt?" rồi hỏi tiếp "có cái gì đáng vào mà bị đá ra?".

Định nghĩa trong học hành và giấy tờ

Trong sách giáo khoa toán, mỗi định nghĩa là kết quả của việc cân chỉnh này. Đó là lý do định nghĩa hình thoi là "tứ giác có bốn cạnh bằng nhau" chứ không phải "tứ giác có hai đường chéo vuông góc": câu thứ hai lọt cả hình cánh diều.

Trong hợp đồng, quy chế, phần "Giải thích từ ngữ" ở đầu văn bản là một chuỗi định nghĩa quy ước. Chúng không cần khớp nghĩa đời thường, nhưng phải được dùng đúng một nghĩa suốt văn bản. Một hợp đồng nói "thanh toán trong 10 ngày" mà không định nghĩa "ngày" thì hai bên dễ hiểu khác nhau: mười ngày lịch hay mười ngày làm việc chênh nhau gần một tuần.

Dùng vào đâu

• Thi cử: dạng bài "định nghĩa sau đúng hay sai, sai quy tắc nào" là câu quen thuộc trong đề kiểm tra Logic học đại cương. Ở phổ thông, phân biệt định nghĩa và dấu hiệu nhận biết các tứ giác dùng đúng kỹ năng này.
• Đọc hợp đồng: soát phần giải thích từ ngữ bằng phản ví dụ hai chiều trước khi ký.
• Lập trình: điều kiện lọc dữ liệu quá rộng hay quá hẹp chính là lỗi định nghĩa, chỉ khác là máy chạy theo đúng chữ.
• Học tiếp: chương "Định nghĩa khái niệm" trong giáo trình Logic học đại cương; chương về định nghĩa trong Introduction to Logic của Irving Copi.

Bài tập

1. "Hình thoi là tứ giác có hai đường chéo vuông góc." Sai quy tắc nào? Đáp án: quá rộng — hình cánh diều (tứ giác có hai cặp cạnh kề bằng nhau) có hai đường chéo vuông góc mà không phải hình thoi. Sửa: "hình bình hành có hai đường chéo vuông góc".
2. "Tam giác cân là tam giác có ba cạnh bằng nhau." Đáp án: quá hẹp — bỏ sót tam giác có cạnh 5, 5, 8. Sửa: "tam giác có hai cạnh bằng nhau".
3. "Hạnh phúc là cảm giác khi ta hạnh phúc." Đáp án: vòng quanh một bước.
4. "Thời gian là tiền bạc." Đáp án: vi phạm quy tắc rõ ràng — đây là câu ví von, không vạch ra nội hàm của "thời gian".
5. "Số tự nhiên chẵn là số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6 hoặc 8." Có cân đối không? Đáp án: có. Một số tự nhiên chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng là chữ số chẵn, nên hai vế cùng ngoại diên. Đây là dấu hiệu nhận biết được dùng làm định nghĩa, chấp nhận được.