Xét theo ngoại diên, hai khái niệm so sánh được với nhau chỉ có bốn quan hệ cơ bản: đồng nhất (ngoại diên trùng khít), bao hàm (ngoại diên của khái niệm này nằm trọn trong khái niệm kia), giao nhau (chung một phần) và tách rời (không có phần tử chung). Quan hệ tách rời lại có ba dạng con là ngang hàng, đối lập và mâu thuẫn. Muốn biết hai khái niệm đứng với nhau thế nào, chỉ cần trả lời ba câu hỏi có – không về ngoại diên của chúng.
Khái niệm nào thì đem so được
Giáo trình Logic học đại cương thường tách hai trường hợp. Hai khái niệm không so sánh được khi chúng quá xa nhau, không có dấu hiệu chung hay giống chung nào để đặt cạnh nhau: "hình tam giác" và "lòng dũng cảm", "nhiệt độ" và "cái tủ lạnh". Hỏi chúng giao nhau hay tách rời thì câu hỏi vô duyên.
Hai khái niệm so sánh được khi có chung một số dấu hiệu, thường là cùng nằm dưới một khái niệm rộng hơn: "số chẵn" và "số chia hết cho 3" cùng thuộc "số nguyên"; "học sinh nữ" và "học sinh giỏi" cùng thuộc "học sinh". Bài này chỉ bàn loại thứ hai.
Giáo trình hay vẽ các quan hệ này bằng vòng tròn Euler, mỗi khái niệm một vòng. Ở đây ta mô tả bằng lời và bằng bảng kiểm, vì cách kiểm bằng câu hỏi dùng được cả khi không có giấy bút.
Ba câu hỏi để xác định quan hệ
Với hai khái niệm A và B, hãy hỏi:
- Có đối tượng nào vừa là A vừa là B không?
- Có đối tượng nào là A mà không là B không?
- Có đối tượng nào là B mà không là A không?
Ba câu trả lời có – không cho ra đúng một quan hệ:
| Quan hệ | Vừa A vừa B? | A mà không B? | B mà không A? | Ví dụ |
|---|---|---|---|---|
| Đồng nhất | Có | Không | Không | "tam giác đều" – "tam giác có ba góc bằng nhau" |
| A bao hàm B | Có | Có | Không | "số nguyên" – "số tự nhiên" |
| B bao hàm A | Có | Không | Có | "học sinh lớp 9" – "học sinh" |
| Giao nhau | Có | Có | Có | "số chẵn" – "số chia hết cho 3" |
| Tách rời | Không | Có | Có | "số chẵn" – "số lẻ" |
Lưu ý một điều nhỏ: bảng chỉ dùng cho khái niệm có ngoại diên không rỗng. Khái niệm rỗng như "động cơ vĩnh cửu" không có phần tử nào để hỏi.
Đồng nhất, bao hàm, giao nhau
Đồng nhất
Hai khái niệm có nội hàm khác nhau nhưng ngoại diên trùng nhau hoàn toàn. "Tam giác đều" nói về cạnh, "tam giác có ba góc bằng nhau" nói về góc, nhưng chỉ vào đúng những hình ấy. "Tác giả Truyện Kiều" và "Nguyễn Du" là một ví dụ quen thuộc: hai cách gọi khác nhau cho cùng một người. Khái niệm đồng nhất thường thay thế được cho nhau trong lập luận mà không đổi đúng sai.
Bao hàm (còn gọi là lệ thuộc, giống – loài)
Mọi B đều là A, nhưng có A không phải B. Khái niệm rộng hơn gọi là khái niệm giống, khái niệm hẹp hơn là khái niệm loài. "Số nguyên" là giống, "số tự nhiên" là loài; "học sinh" là giống, "học sinh lớp 9" là loài. Giống và loài chỉ là tương đối: "số nguyên" là loài so với "số hữu tỉ". Đây chính là quan hệ được dùng khi định nghĩa và phân chia khái niệm.
Giao nhau
Hai khái niệm chia nhau một phần ngoại diên, mỗi bên lại có phần riêng. "Số chẵn" và "số chia hết cho 3": số 6, 12 thuộc cả hai; số 2 chẵn mà không chia hết cho 3; số 3 chia hết cho 3 mà lẻ. Đủ ba lần "có", nên là giao nhau. "Học sinh nữ" và "học sinh giỏi" cũng thế, miễn là trong trường có bạn nữ học giỏi, có bạn nữ chưa giỏi và có bạn nam học giỏi.
Tách rời và ba dạng con
Hai khái niệm tách rời khi không có đối tượng chung. Nếu cả hai cùng nằm dưới một khái niệm giống, người ta xét thêm: hợp hai ngoại diên lại có lấp đầy khái niệm giống không, và hai khái niệm có phải hai thái cực không. Từ đó có ba dạng. Tên gọi giữa các giáo trình có khác nhau đôi chút; nội dung thì như sau.
- Mâu thuẫn: một khái niệm là A, khái niệm kia là "không A" trong cùng một giống, hợp lại vừa khít khái niệm giống. Trong tập số nguyên, "số chẵn" và "số lẻ" mâu thuẫn: số nguyên nào cũng thuộc đúng một bên. Trong tập số thực, "số hữu tỉ" và "số vô tỉ" cũng vậy.
- Đối lập (trái ngược): hai khái niệm ở hai đầu của cùng một thang, ở giữa còn khoảng trống. Trong tập số thực, "số dương" và "số âm" đối lập vì còn số 0 không thuộc bên nào. "Trắng" và "đen" trong màu sắc cũng vậy.
- Ngang hàng: nhiều khái niệm loài cùng thuộc một giống, không chung phần tử, không phải hai thái cực. "Tam giác nhọn", "tam giác vuông", "tam giác tù" đôi một ngang hàng trong giống "tam giác"; ba khái niệm hợp lại mới đủ giống.
Phân biệt mâu thuẫn với đối lập là việc có hậu quả thật. Hai khái niệm mâu thuẫn thì phủ nhận bên này là khẳng định bên kia: số nguyên không chẵn thì lẻ. Hai khái niệm đối lập thì không: một số thực không dương chưa chắc đã âm, nó có thể bằng 0. Nhảy từ "không dương" sang "âm" là bỏ quên phần ở giữa.
Ký hiệu và bài có nhiều khái niệm
Viết bằng ký hiệu tập hợp
Gọi A, B là ngoại diên của hai khái niệm. Một vài ký hiệu, giải nghĩa ngay: ⊂ là "nằm trong"; ∩ là "phần chung"; ∅ là "tập rỗng"; ¬ là "không"; → là "nếu… thì…". Khi đó:
- Đồng nhất: A = B.
- Bao hàm: B ⊂ A và A ≠ B. Nói bằng câu điều kiện: với mọi x, "x thuộc B" → "x thuộc A".
- Giao nhau: A ∩ B ≠ ∅, đồng thời không tập nào nằm trong tập kia.
- Tách rời: A ∩ B = ∅.
- Mâu thuẫn trong giống G: A ∩ B = ∅ và hợp của A với B bằng G. Nói cách khác, với mọi x thuộc G, "x thuộc B" khi và chỉ khi ¬("x thuộc A").
Viết như vậy giúp thấy rõ vì sao bảng ba câu hỏi đủ dùng: câu 1 hỏi A ∩ B có rỗng không, câu 2 hỏi A có nằm trong B không, câu 3 hỏi B có nằm trong A không.
Khi có ba khái niệm trở lên
Đề bài thường đưa ba, bốn khái niệm và hỏi quan hệ từng cặp. Cách làm: tìm khái niệm rộng nhất trước, rồi xét các cặp bên trong. Lấy "người", "sinh viên", "vận động viên", "sinh viên năm nhất":
- "Người" bao hàm cả ba khái niệm còn lại.
- "Sinh viên" bao hàm "sinh viên năm nhất".
- "Sinh viên" và "vận động viên" giao nhau: có sinh viên là vận động viên, có sinh viên không chơi thể thao chuyên nghiệp, có vận động viên không đi học.
- "Sinh viên năm nhất" và "vận động viên" cũng giao nhau.
Mẹo nhỏ: với mỗi cặp, cố tìm một ví dụ cụ thể cho từng câu hỏi. Tìm không ra ví dụ thì phải lý giải được vì sao không có, chứ không kết luận "không" chỉ vì nghĩ chưa ra.
Dùng vào đâu
- Đọc điều kiện, quy định: học bổng "dành cho học sinh giỏi có hoàn cảnh khó khăn" là phần giao của hai khái niệm, không phải hợp. Người đọc lướt dễ tưởng chỉ cần thuộc một trong hai nhóm.
- Bảo hiểm, hợp đồng: khi một điều khoản loại trừ "bệnh có sẵn" và một điều khoản khác nhắc "bệnh mãn tính", câu hỏi đáng hỏi là hai khái niệm này đồng nhất, bao hàm hay chỉ giao nhau, vì mỗi trường hợp cho ra quyền lợi khác.
- Thi cử: dạng câu "xác định quan hệ giữa các khái niệm và biểu diễn bằng hình vẽ" rất hay gặp trong bài kiểm tra Logic học đại cương. Ở phổ thông, các bài về tập hợp số (ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ) chính là quan hệ bao hàm.
- Học tiếp: các bài về hình vuông logic và phán đoán A, E, I, O trong cùng mục này dựa trực tiếp vào bốn quan hệ trên.
Bài tập
- "Số nguyên tố" và "số lẻ" có quan hệ gì? Đáp án: giao nhau. Số 3 vừa nguyên tố vừa lẻ; số 2 nguyên tố mà chẵn; số 9 lẻ mà không nguyên tố.
- "Hình thoi" và "hình chữ nhật"? Đáp án: giao nhau. Phần chung là hình vuông; có hình thoi không có góc vuông; có hình chữ nhật có hai cạnh kề khác nhau.
- "Tam giác cân" (có ít nhất hai cạnh bằng nhau) và "tam giác đều"? Đáp án: "tam giác cân" bao hàm "tam giác đều": tam giác đều nào cũng cân, nhưng tam giác có cạnh 5, 5, 6 cân mà không đều.
- Trong tập số thực, "số hữu tỉ" và "số vô tỉ"? Đáp án: mâu thuẫn. Không số nào thuộc cả hai, và mọi số thực thuộc một trong hai.
- Trong sĩ số lớp sáng nay, "bạn đến đúng giờ" và "bạn đến muộn" có mâu thuẫn không? Đáp án: không. Chúng tách rời nhưng chưa lấp đầy cả lớp, vì còn bạn nghỉ học. Đây là quan hệ ngang hàng; kết luận "không đến đúng giờ thì đến muộn" là sai.
Câu hỏi thường gặp
Có mấy loại quan hệ giữa các khái niệm?
Xét theo ngoại diên, hai khái niệm so sánh được có bốn quan hệ cơ bản: đồng nhất, bao hàm, giao nhau và tách rời. Quan hệ tách rời được chia tiếp thành mâu thuẫn, đối lập và ngang hàng. Một số giáo trình gộp hoặc gọi tên hơi khác, nhưng nội dung tương đương.
Quan hệ mâu thuẫn và đối lập giữa hai khái niệm khác nhau thế nào?
Hai khái niệm mâu thuẫn hợp lại vừa khít khái niệm giống, như số chẵn và số lẻ trong tập số nguyên. Hai khái niệm đối lập là hai thái cực, ở giữa còn khoảng trống, như số dương và số âm (còn số 0). Vì vậy phủ nhận một bên chỉ suy ra bên kia khi hai khái niệm mâu thuẫn.
Quan hệ bao hàm còn gọi là gì?
Quan hệ bao hàm còn gọi là quan hệ lệ thuộc hay quan hệ giống – loài. Khái niệm rộng là khái niệm giống, khái niệm hẹp nằm trọn trong nó là khái niệm loài. Ví dụ "số nguyên" là giống của "số tự nhiên".
Làm sao xác định nhanh quan hệ giữa hai khái niệm?
Trả lời ba câu: có đối tượng vừa là A vừa là B không, có A mà không là B không, có B mà không là A không. Ba câu trả lời có – không ứng với đúng một quan hệ, như bảng trong bài. Mỗi câu "có" nên đi kèm một ví dụ cụ thể.
Hai khái niệm đồng nhất thì nội hàm có giống nhau không?
Không nhất thiết. Đồng nhất là trùng ngoại diên, còn nội hàm có thể khác hẳn: "tam giác đều" nói về cạnh, "tam giác có ba góc bằng nhau" nói về góc. Chính vì nội hàm khác nhau mà phát hiện hai khái niệm đồng nhất thường là một kết quả có giá trị.
