Để tìm m sao cho đường thẳng d cắt đồ thị hàm bậc ba (C) tại ba điểm phân biệt, ta lập phương trình hoành độ giao điểm rồi đòi nó có ba nghiệm phân biệt. Cách nhanh nhất là nhẩm một nghiệm x₀ không phụ thuộc m, tách phương trình thành (x − x₀)·g(x) = 0, rồi yêu cầu g(x) có hai nghiệm phân biệt và cả hai khác x₀. Nếu không nhẩm được nghiệm, chuyển sang cô lập tham số và đọc bảng biến thiên.
Phương trình hoành độ giao điểm
Điểm (x; y) thuộc cả (C): y = f(x) và d: y = kx + n khi và chỉ khi f(x) = kx + n. Mỗi nghiệm x của phương trình này cho đúng một giao điểm, vì tung độ được xác định duy nhất bởi x. Nên "cắt tại ba điểm phân biệt" ⇔ "phương trình f(x) − (kx + n) = 0 có ba nghiệm phân biệt".
Phương trình này là bậc ba (hệ số x³ không đổi khi trừ một biểu thức bậc nhất). Bậc ba có tối đa ba nghiệm, và khó biện luận trực tiếp. Mẹo của dạng bài là: đề thường cho đường thẳng đi qua một điểm cố định nằm trên (C), nên luôn có sẵn một nghiệm nhẩm được.
Phương pháp chung
- Lập phương trình hoành độ: f(x) − (kx + n) = 0.
- Nhẩm nghiệm x₀ không chứa m (thường là hoành độ điểm cố định mà d luôn đi qua). Thử x₀ ∈ {0; 1; −1; 2; −2}.
- Phân tích: (x − x₀)·g(x) = 0, với g(x) bậc hai, chia bằng sơ đồ Horner hoặc chia đa thức.
- Điều kiện ba nghiệm phân biệt:
- g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt: Δ(g) > 0;
- x₀ không phải nghiệm của g: g(x₀) ≠ 0.
- Nếu đề thêm điều kiện cho các giao điểm (tổng bình phương hoành độ, hoành độ dương…), dùng Vi-ét cho g cùng với x₀ đã biết.
- Đối chiếu, rồi thử lại với một giá trị m cụ thể.
Ví dụ 1: đường thẳng quay quanh điểm uốn
Đề. Cho (C): y = x³ − 3x² + 2 và d: y = m(x − 1). Tìm m để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
Nhận xét. d luôn đi qua điểm I(1; 0) với mọi m. Thay x = 1 vào (C): 1 − 3 + 2 = 0, nên I thuộc (C). Vậy x₀ = 1 là nghiệm sẵn có.
Phân tích. x³ − 3x² + 2 = (x − 1)(x² − 2x − 2). Kiểm: (x − 1)(x² − 2x − 2) = x³ − 2x² − 2x − x² + 2x + 2 = x³ − 3x² + 2. Đúng.
Phương trình hoành độ: (x − 1)(x² − 2x − 2) − m(x − 1) = 0 ⇔ (x − 1)(x² − 2x − 2 − m) = 0.
Đặt g(x) = x² − 2x − 2 − m.
- Δ′(g) = 1 + 2 + m = 3 + m > 0 ⇔ m > −3.
- g(1) = 1 − 2 − 2 − m = −3 − m ≠ 0 ⇔ m ≠ −3.
Kết luận: m > −3.
Thử lại
m = 0: d là trục hoành. x³ − 3x² + 2 = 0 có nghiệm 1 và 1 ± √3, ba nghiệm phân biệt. Đúng.
m = −3: g(x) = x² − 2x + 1 = (x − 1)², phương trình thành (x − 1)³ = 0, chỉ một giao điểm. Đó là lúc d trùng tiếp tuyến tại I. Loại, khớp.
Thêm điều kiện: tổng bình phương hoành độ bằng 15
Ba hoành độ là 1, x₂, x₃ với x₂ + x₃ = 2, x₂x₃ = −2 − m. Tổng bình phương: 1 + (x₂ + x₃)² − 2x₂x₃ = 1 + 4 + 4 + 2m = 9 + 2m. Cho bằng 15: m = 3, thoả m > −3.
Thử m = 3: g(x) = x² − 2x − 5, nghiệm 1 ± √6. (1 + √6)² + (1 − √6)² = 2(1 + 6) = 14, cộng 1² được 15. Đúng.
Một điều thú vị: I(1; 0) là điểm uốn của (C) (y″ = 6x − 6 bằng 0 tại x = 1). Vì x₂ + x₃ = 2 = 2·1, giao điểm I luôn là trung điểm của hai giao điểm kia. Mọi đường thẳng qua điểm uốn mà cắt (C) tại ba điểm đều chia đôi như vậy — hệ quả của việc đồ thị bậc ba đối xứng qua điểm uốn.
Ví dụ 2: khi điều kiện g(x₀) ≠ 0 thật sự loại một giá trị
Đề. Cho (C): y = x³ − 3x² + 4 và d: y = m(x − 2). Tìm m để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
d luôn qua (2; 0), và y(2) = 8 − 12 + 4 = 0, nên x₀ = 2.
x³ − 3x² + 4 = (x − 2)(x² − x − 2). Kiểm: x³ − x² − 2x − 2x² + 2x + 4 = x³ − 3x² + 4. Đúng.
Phương trình hoành độ: (x − 2)(x² − x − 2 − m) = 0. Đặt g(x) = x² − x − 2 − m.
- Δ(g) = 1 + 4(2 + m) = 9 + 4m > 0 ⇔ m > −9/4.
- g(2) = 4 − 2 − 2 − m = −m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0.
Kết luận: m > −9/4 và m ≠ 0.
Khác với Ví dụ 1, ở đây hai điều kiện độc lập nhau: m = 0 thoả Δ(g) > 0 nhưng vẫn bị loại.
Thử lại
m = 0: d là trục hoành, x³ − 3x² + 4 = (x − 2)²(x + 1). Chỉ hai giao điểm x = 2 (tiếp xúc) và x = −1. Loại, khớp.
m = −2: g(x) = x² − x = x(x − 1), ba hoành độ 0, 1, 2 phân biệt. Nhận, khớp.
Thêm điều kiện: ba giao điểm đều có hoành độ dương
x₀ = 2 > 0 sẵn. Hai nghiệm của g cùng dương ⇔ tổng 1 > 0 (luôn đúng) và tích −2 − m > 0 ⇔ m < −2. Kết hợp: −9/4 < m < −2. Thử m = −2,1: g(x) = x² − x + 0,1, nghiệm (1 ± √0,6)/2 ≈ 0,887 và 0,113, cùng dương. Đúng.
Ví dụ 3: không nhẩm được nghiệm — cô lập tham số
Đề. Cho (C): y = x³ − 3x và d: y = mx + 2. Tìm m để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
Phương trình hoành độ: x³ − 3x − 2 = mx. Một nghiệm đúng với mọi m phải làm số hạng mx biến mất, tức x = 0; nhưng x = 0 cho −2 = 0, vô lý. Vậy không có nghiệm cố định để tách nhân tử. Cũng vì x = 0 không phải nghiệm, ta được chia hai vế cho x: m = x² − 3 − 2/x = f(x).
f′(x) = 2x + 2/x² = 2(x³ + 1)/x², bằng 0 tại x = −1, f(−1) = 1 − 3 + 2 = 0.
- Trên (−∞; −1): f′ < 0, f giảm từ +∞ xuống 0.
- Trên (−1; 0): f′ > 0, f tăng từ 0 lên +∞ (khi x → 0⁻, −2/x → +∞).
- Trên (0; +∞): f′ > 0, f tăng từ −∞ lên +∞.
Đếm: m > 0 có hai nghiệm âm và một nghiệm dương, tổng 3; m = 0 có hai nghiệm; m < 0 có một nghiệm. Kết luận: m > 0.
Thử lại m = 1: h(x) = x³ − 4x − 2. h(−2) = −2, h(−1) = 1, h(0) = −2, h(3) = 13. Đổi dấu ba lần, nên có ba nghiệm. Đúng. m = 0: x³ − 3x − 2 = (x + 1)²(x − 2), hai nghiệm. Khớp.
Bảng kết luận
| Bài | m làm d cắt (C) tại 3 điểm | m cho 2 điểm (tiếp xúc) | m cho 1 điểm |
|---|---|---|---|
| Ví dụ 1: x³ − 3x² + 2 và m(x − 1) | m > −3 | không có | m ≤ −3 |
| Ví dụ 2: x³ − 3x² + 4 và m(x − 2) | m > −9/4, m ≠ 0 | m = −9/4 hoặc m = 0 | m < −9/4 |
| Ví dụ 3: x³ − 3x và mx + 2 | m > 0 | m = 0 | m < 0 |
Kiểm dòng 2 tại m = −9/4: g(x) = x² − x + 1/4 = (x − 1/2)², nghiệm kép 1/2 khác 2, nên có hai giao điểm (x = 2 và x = 1/2). Dòng 1 không có trường hợp hai điểm vì khi Δ′(g) = 0 thì nghiệm kép của g trùng luôn x₀ = 1.
Lỗi hay gặp
- Quên điều kiện g(x₀) ≠ 0. Ví dụ 2 sẽ nhận nhầm m = 0, khi đó đường thẳng chỉ tiếp xúc tại (2; 0).
- Dùng Δ(g) ≥ 0. Nghiệm kép của g cho hai giao điểm trùng nhau, không phải hai điểm phân biệt.
- Phân tích nhân tử sai. Luôn nhân ngược lại để kiểm, như các dòng "Kiểm" ở trên. Sai một dấu là sai cả bài.
- Dùng Vi-ét cho cả ba nghiệm nhưng quên x₀. Tổng bình phương ba hoành độ phải cộng thêm x₀².
- Chia cho x mà không kiểm x = 0 khi cô lập tham số.
Dùng vào đâu
- Đề thi lớp 12: tương giao giữa đường thẳng và đồ thị bậc ba là dạng nền của phần ứng dụng đạo hàm; các câu điều kiện thêm (hoành độ dương, cách đều, diện tích tam giác) xây trên đúng khung (x − x₀)·g(x).
- Kỹ năng đại số dùng lâu dài: nhẩm nghiệm và chia Horner dùng lại ở phương trình bậc cao, bất phương trình, tích phân phân thức.
- Hình học của đồ thị: nhận xét về điểm uốn ở Ví dụ 1 giải thích vì sao các đề "ba giao điểm cách đều nhau" thường có đáp án là đường thẳng qua điểm uốn.
- Học tiếp: biện luận số nghiệm bằng đường thẳng nằm ngang y = m và phương pháp cô lập tham số trong danh mục này.
Câu hỏi thường gặp
Đường thẳng cắt đồ thị bậc ba tại ba điểm phân biệt khi nào?
Khi phương trình hoành độ giao điểm có ba nghiệm phân biệt. Nếu tách được thành (x − x₀)·g(x) = 0 thì cần g có hai nghiệm phân biệt và g(x₀) ≠ 0.
Vì sao phải có điều kiện g(x₀) ≠ 0?
Nếu x₀ cũng là nghiệm của g thì x₀ là nghiệm kép của phương trình bậc ba, hai giao điểm trùng nhau và chỉ còn tối đa hai điểm phân biệt. Đường thẳng khi đó tiếp xúc với đồ thị tại x₀.
Không nhẩm được nghiệm thì làm sao?
Cô lập tham số: đưa phương trình về m = f(x), xét riêng các x làm phép chia không hợp lệ, rồi đếm giao điểm của y = m với đồ thị f bằng bảng biến thiên.
Đường thẳng qua điểm uốn có tính chất gì đặc biệt?
Đồ thị hàm bậc ba đối xứng qua điểm uốn. Nếu đường thẳng qua điểm uốn cắt đồ thị tại ba điểm thì điểm uốn là trung điểm của hai giao điểm còn lại.
