Để tìm m sao cho hàm số đồng biến trên một khoảng K cho trước, ta đòi y′ ≥ 0 với mọi x ∈ K (bằng 0 chỉ tại hữu hạn điểm), rồi thường cô lập tham số về dạng m ≥ g(x) với mọi x ∈ K và đọc kết quả bằng giá trị lớn nhất của g trên K. Với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, còn một điều kiện nữa hay bị quên: điểm làm mẫu bằng 0 phải nằm ngoài K. Điều kiện trên một khoảng thường lỏng hơn điều kiện trên cả ℝ, nên không được chép đáp án dạng "trên ℝ" sang.
Khác gì với "đồng biến trên ℝ"
Đòi hàm đồng biến trên cả trục số là yêu cầu khắt khe: đạo hàm phải không âm ở mọi nơi. Đòi đồng biến chỉ trên (2; +∞) thì phần bên trái số 2 hàm muốn lên xuống thế nào cũng được. Vì vậy tập giá trị m thoả mãn thường rộng hơn.
Hệ quả về cách làm: với hàm bậc ba trên ℝ, chỉ cần Δ′ ≤ 0 là xong. Trên một khoảng, tam thức y′ được phép có hai nghiệm, miễn là đoạn nó âm nằm ngoài K. Viết thành điều kiện về vị trí nghiệm thì rườm rà (so sánh nghiệm với một số). Cô lập tham số gọn hơn nhiều.
Phương pháp chung
- Tính y′. Kiểm hàm xác định trên toàn bộ K (với phân thức: nghiệm của mẫu không thuộc K).
- Viết điều kiện: y′ ≥ 0 với mọi x ∈ K (đồng biến) hoặc y′ ≤ 0 với mọi x ∈ K (nghịch biến).
- Nếu m xuất hiện bậc nhất trong y′, cô lập: m ≥ g(x) hoặc m ≤ g(x) với mọi x ∈ K. Chia cho biểu thức chứa x thì xét dấu trên K.
- Lập bảng biến thiên của g trên K.
- m ≥ g(x) với mọi x ∈ K ⇔ m ≥ giá trị lớn nhất của g trên K. Nếu K là khoảng mở và g chỉ tiến sát một cận trên mà không đạt, vẫn lấy m ≥ cận đó (dấu bằng được giữ vì g không bao giờ chạm tới).
- Thử lại với giá trị m ở biên.
Riêng hàm y = (ax + b)/(cx + d): đạo hàm y′ = (ad − bc)/(cx + d)² có tử là hằng số, nên dấu y′ không đổi trên mỗi khoảng xác định. Điều kiện đồng biến là ad − bc > 0 (dấu lớn hơn chặt, vì ad − bc = 0 thì hàm là hằng), cộng với −d/c ∉ K.
Ví dụ 1: hàm bậc ba đồng biến trên (2; +∞)
Đề. Tìm m để y = x³ − 3x² + mx + 1 đồng biến trên khoảng (2; +∞).
y′ = 3x² − 6x + m. Cần 3x² − 6x + m ≥ 0 với mọi x > 2, tức m ≥ −3x² + 6x với mọi x > 2.
Đặt g(x) = −3x² + 6x = −3x(x − 2). g′(x) = −6x + 6 < 0 khi x > 1, nên trên (2; +∞) g giảm. Khi x → 2⁺, g(x) → g(2) = 0; khi x → +∞, g → −∞. Trên khoảng mở (2; +∞), g luôn nhỏ hơn 0 và tiến sát 0 khi x về gần 2.
m ≥ g(x) với mọi x > 2 ⇔ m ≥ 0.
Thử lại
m = 0: y′ = 3x² − 6x = 3x(x − 2) > 0 với mọi x > 2. Đồng biến. Nhận.
m = −1: y′ = 3x² − 6x − 1. Tại x = 2,1: 3·4,41 − 12,6 − 1 = 13,23 − 13,6 = −0,37 < 0. Hàm giảm gần x = 2. Loại, khớp.
So sánh ba yêu cầu trên cùng một hàm
| Yêu cầu | Điều kiện cô lập | Kết quả |
|---|---|---|
| Đồng biến trên ℝ | m ≥ max của −3x² + 6x trên ℝ = 3 | m ≥ 3 |
| Đồng biến trên (0; +∞) | max trên (0; +∞) vẫn là 3, đạt tại x = 1 | m ≥ 3 |
| Đồng biến trên (2; +∞) | cận trên 0, không đạt | m ≥ 0 |
| Nghịch biến trên (0; 1) | m ≤ −3x² + 6x với mọi x ∈ (0; 1); g tăng từ 0 lên 3, cận dưới 0 | m ≤ 0 |
Dòng thứ hai cho thấy khoảng (0; +∞) chứa đỉnh x = 1 của g, nên điều kiện không lỏng hơn chút nào so với trên ℝ. Dòng thứ ba thì đỉnh nằm ngoài khoảng, điều kiện nới ra hẳn. Muốn biết khoảng có "giúp" không, nhìn xem điểm xấu nhất của g có nằm trong khoảng hay không.
Thử dòng cuối với m = 0: y′ = 3x(x − 2) < 0 với mọi x ∈ (0; 1), đúng là nghịch biến.
Ví dụ 2: hàm phân thức nghịch biến trên (−∞; 1)
Đề. Tìm m để y = (mx + 4)/(x + m) nghịch biến trên khoảng (−∞; 1).
Tập xác định x ≠ −m. Đạo hàm y′ = (m·m − 4·1)/(x + m)² = (m² − 4)/(x + m)².
Điều kiện 1 — dấu đạo hàm: nghịch biến cần m² − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2. Dấu chặt: nếu m² = 4 thì hàm là hằng. Chẳng hạn m = −2: y = (−2x + 4)/(x − 2) = −2 với mọi x ≠ 2, không nghịch biến.
Điều kiện 2 — hàm xác định trên cả khoảng: −m ∉ (−∞; 1) ⇔ −m ≥ 1 ⇔ m ≤ −1.
Giao lại: −2 < m ≤ −1.
Thử lại
m = −1: y = (−x + 4)/(x − 1), y′ = ((−1)(−1) − 4·1)/(x − 1)² = −3/(x − 1)² < 0 với mọi x ≠ 1. Điểm x = 1 là đầu mút không thuộc khoảng mở (−∞; 1). Hàm nghịch biến trên (−∞; 1). Nhận.
m = 0: y = 4/x, y′ = −4/x² < 0, nhưng hàm không xác định tại x = 0 ∈ (−∞; 1). Trên khoảng này hàm bị cắt làm hai nhánh: chọn x₁ = −1 < x₂ = 0,5 thì y(−1) = −4 < y(0,5) = 8, tức hàm không giảm trên cả khoảng. Loại, khớp với điều kiện 2.
Ví dụ 3: nghịch biến trên đúng một đoạn có độ dài cho trước
Đề. Tìm m để y = x³ + 3x² + mx + m nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 2.
y′ = 3x² + 6x + m. Hàm nghịch biến trên đoạn [x₁; x₂] nằm giữa hai nghiệm của y′, nên cần y′ có hai nghiệm phân biệt: Δ′ = 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3.
Theo hệ thức Vi-ét: x₁ + x₂ = −2, x₁x₂ = m/3. Độ dài đoạn: (x₂ − x₁)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ = 4 − 4m/3. Cho bằng 2² = 4: 4 − 4m/3 = 4 ⇔ m = 0, thoả m < 3.
Thử lại m = 0: y′ = 3x² + 6x = 3x(x + 2), âm trên (−2; 0), hàm nghịch biến trên [−2; 0], độ dài 2. Đúng.
Lỗi hay gặp
- Chép điều kiện "trên ℝ" sang "trên khoảng". Ví dụ 1 sẽ ra m ≥ 3, sai, vì m = 0, 1, 2 cũng thoả.
- Quên kiểm điểm gián đoạn nằm ngoài khoảng với hàm phân thức. Ví dụ 2 nếu chỉ giải m² < 4 sẽ nhận nhầm m = 0, m = 1.
- Để dấu "≤" ở tử số của hàm phân thức. ad − bc = 0 làm hàm thành hằng số, không đồng biến cũng không nghịch biến.
- Cắt nhầm đầu mút. Trên khoảng mở, g không đạt cận trên nhưng m bằng đúng cận đó vẫn nhận. Nhiều bạn viết m > 0 ở Ví dụ 1 và mất m = 0.
- Đổi chiều sai khi chia. Nếu bước cô lập phải chia cho biểu thức chứa x, xét dấu của nó trên K trước.
Dùng vào đâu
- Đề thi lớp 12: dạng "tìm m để hàm đồng biến trên (a; +∞)", "nghịch biến trên (−∞; b)" xuất hiện thường xuyên ở mức vận dụng, kể cả với hàm có chứa căn hay hàm mũ, và cách làm vẫn là cô lập rồi tìm cận của g.
- Đếm số nguyên m trong một miền giới hạn: đề hay thêm "m ∈ [−10; 10]". Với Ví dụ 1 có 11 số nguyên (m = 0, 1, …, 10); với Ví dụ 2 chỉ có m = −1.
- Mô hình thực tế: hỏi "doanh thu tăng liên tục sau tháng thứ 2 khi nào" là đúng dạng đồng biến trên (2; +∞).
- Học tiếp: nắm thêm phương pháp cô lập tham số trong danh mục này; nó là chìa khoá chung cho mọi dạng "với mọi x thuộc K".
Câu hỏi thường gặp
Tìm m để hàm số đồng biến trên một khoảng làm thế nào?
Đòi y′ ≥ 0 với mọi x thuộc khoảng đó, cô lập m về dạng m ≥ g(x), rồi lấy m ≥ giá trị lớn nhất (hoặc cận trên) của g trên khoảng. Với hàm phân thức, thêm điều kiện nghiệm của mẫu nằm ngoài khoảng.
Vì sao điều kiện trên khoảng lỏng hơn trên ℝ?
Vì chỉ cần đạo hàm không âm trên phần trục số đề yêu cầu, phần còn lại không bị ràng buộc. Nếu điểm xấu nhất của g nằm ngoài khoảng thì điều kiện được nới; nếu nằm trong thì như trên ℝ.
Hàm y = (ax + b)/(cx + d) nghịch biến trên khoảng K khi nào?
Khi ad − bc < 0 và −d/c không thuộc K. Dấu phải chặt, vì ad − bc = 0 thì hàm là hằng số trên tập xác định.
Cận trên không đạt được thì có lấy dấu bằng không?
Có. Nếu g(x) luôn nhỏ hơn hẳn số L và tiến sát L, thì m = L vẫn thoả m ≥ g(x) với mọi x trong khoảng. Như Ví dụ 1, m = 0 được nhận dù g không bao giờ bằng 0 trên (2; +∞).
