Hàm bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d với a ≠ 0 đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi a > 0 và biệt thức thu gọn của đạo hàm Δ′ = b² − 3ac ≤ 0. Nếu hệ số a chứa tham số m thì phải xét riêng trường hợp a = 0, vì khi đó hàm không còn là bậc ba và điều kiện trên không áp dụng được. Dấu "≤" chứ không phải "<" là chỗ học sinh hay đánh mất điểm nhất.
Cơ sở: đồng biến và dấu của đạo hàm
Trong chương trình phổ thông, kết quả được dùng là: nếu f′(x) ≥ 0 với mọi x thuộc khoảng K và f′(x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm của K, thì f đồng biến trên K. Ngược lại, nếu f khả vi và đồng biến trên K thì f′(x) ≥ 0 trên K.
Ví dụ quen thuộc nhất là y = x³. Đạo hàm y′ = 3x² bằng 0 tại x = 0, nhưng hàm vẫn tăng trên toàn ℝ: với x₁ < x₂ thì x₁³ < x₂³. Đạo hàm bằng 0 tại một điểm lẻ loi không làm hàm "đứng lại". Vì vậy điều kiện đúng là y′ ≥ 0, cho phép dấu bằng.
Với hàm bậc ba, y′ = 3ax² + 2bx + c là tam thức bậc hai. Một tam thức bậc hai chỉ có tối đa hai nghiệm, nên "bằng 0 tại hữu hạn điểm" luôn tự thoả. Bài toán quy về: khi nào tam thức bậc hai không âm với mọi x.
Phương pháp chung
- Tính y′ = 3ax² + 2bx + c.
- Nếu a chứa m: giải a = 0, thay từng giá trị m đó vào hàm, kiểm trực tiếp (thường hàm thành bậc hai hoặc bậc nhất).
- Với a ≠ 0: y′ ≥ 0 với mọi x ⇔ 3a > 0 và Δ′ = b² − 3ac ≤ 0.
- Giải hệ, hợp với kết quả bước 2, rồi thử lại bằng một giá trị m ở biên.
Với nghịch biến trên ℝ, đổi thành a < 0 và Δ′ ≤ 0.
Lưu ý: Δ′ ở đây là biệt thức thu gọn của đạo hàm y′ = 3ax² + 2bx + c (hệ số giữa là 2b nên b′ = b), tức Δ′ = b² − 3ac. Không nhầm với biệt thức của chính hàm số.
Ví dụ 1: hệ số a là hằng số
Đề. Tìm m để hàm số y = x³ + 3x² + mx + 1 đồng biến trên ℝ.
y′ = 3x² + 6x + m. Hệ số 3 > 0 đã thoả. Δ′ = 3² − 3·m = 9 − 3m.
Điều kiện: 9 − 3m ≤ 0 ⇔ m ≥ 3.
Thử lại
m = 3: y′ = 3x² + 6x + 3 = 3(x + 1)² ≥ 0, chỉ bằng 0 tại x = −1. Hàm đồng biến trên ℝ. Vậy m = 3 được nhận — nếu viết Δ′ < 0 sẽ đánh rơi đúng giá trị này.
m = 0: y′ = 3x² + 6x, tại x = −1 bằng 3 − 6 = −3 < 0. Hàm giảm quanh x = −1, không đồng biến trên ℝ. Khớp với kết luận m ≥ 3.
Ví dụ 2: hệ số a chứa m — bước xét a = 0
Đề. Tìm m để hàm số y = (1/3)(m + 1)x³ + (m + 1)x² + 2x − 1 đồng biến trên ℝ.
y′ = (m + 1)x² + 2(m + 1)x + 2.
Trường hợp m + 1 = 0, tức m = −1. Hàm thành y = 2x − 1, có y′ = 2 > 0. Đồng biến trên ℝ. Nhận m = −1.
Trường hợp m ≠ −1. Cần:
- m + 1 > 0 ⇔ m > −1;
- Δ′ = (m + 1)² − 2(m + 1) = (m + 1)(m − 1) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ m ≤ 1.
Giao lại: −1 < m ≤ 1.
Hợp hai trường hợp: −1 ≤ m ≤ 1.
Thử lại
m = 1: y′ = 2x² + 4x + 2 = 2(x + 1)² ≥ 0. Đồng biến. Nhận.
m = 2: y′ = 3x² + 6x + 2, Δ′ = 9 − 6 = 3 > 0, y′ có hai nghiệm và âm ở giữa hai nghiệm (tại x = −1, y′ = 3 − 6 + 2 = −1). Không đồng biến. Loại, khớp.
m = −2: hệ số x² của y′ là −1 < 0, tam thức âm khi |x| lớn. Loại, khớp.
Nếu bỏ qua bước xét a = 0, đáp án thành −1 < m ≤ 1, thiếu m = −1. Đề trắc nghiệm hỏi "có bao nhiêu số nguyên m" sẽ ra 2 thay vì 3 (m ∈ {−1; 0; 1}).
Ví dụ 3: nghịch biến và đếm số nguyên
Đề. Có bao nhiêu số nguyên m để y = −x³ + mx² − 3x + 4 nghịch biến trên ℝ?
y′ = −3x² + 2mx − 3. Hệ số −3 < 0 đã thoả. Δ′ = m² − (−3)(−3) = m² − 9.
Nghịch biến trên ℝ ⇔ Δ′ ≤ 0 ⇔ −3 ≤ m ≤ 3. Có 7 số nguyên: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.
Thử lại m = 3: y′ = −3x² + 6x − 3 = −3(x − 1)² ≤ 0, bằng 0 duy nhất tại x = 1. Nghịch biến. Nhận.
Bảng kết luận biện luận
| Tình huống | Điều kiện đồng biến trên ℝ | Điều kiện nghịch biến trên ℝ |
|---|---|---|
| a là hằng số khác 0 | a > 0 và b² − 3ac ≤ 0 | a < 0 và b² − 3ac ≤ 0 |
| a chứa m, xét a = 0 | kiểm trực tiếp: chỉ nhận khi hàm còn lại là bậc nhất có hệ số dương | kiểm trực tiếp: chỉ nhận khi hàm còn lại là bậc nhất có hệ số âm |
| Ví dụ 1: y = x³ + 3x² + mx + 1 | m ≥ 3 | không có m (vì a = 1 > 0) |
| Ví dụ 2: a = (m + 1)/3 | −1 ≤ m ≤ 1 | — |
| Ví dụ 3: y = −x³ + mx² − 3x + 4 | không có m | −3 ≤ m ≤ 3 |
| y = x³ − 3mx² + 3(2m − 1)x + 1 | Δ′ = (m − 1)² ≤ 0 ⇔ m = 1 | không có m |
Dòng cuối là một bẫy đẹp: y′/3 = x² − 2mx + 2m − 1 có Δ′ = m² − 2m + 1 = (m − 1)², một bình phương. Bình phương ≤ 0 chỉ khi bằng 0, nên duy nhất m = 1. Thử: m = 1 cho y′ = 3(x − 1)² ≥ 0, đúng.
Lưu ý ở dòng thứ hai: khi a = 0 mà hàm thành bậc hai (hệ số x² khác 0), hàm bậc hai không bao giờ đơn điệu trên cả ℝ, nên giá trị m đó bị loại. Chỉ khi hàm còn lại là bậc nhất có hệ số dương mới nhận. Hàm hằng không được tính là đồng biến.
Lỗi hay gặp
- Viết Δ′ < 0 thay vì Δ′ ≤ 0. Mất giá trị biên, như m = 3 ở Ví dụ 1. Nguyên nhân là nhớ nhầm "đồng biến ⇔ y′ > 0".
- Quên xét a = 0 khi a chứa m. Mất nghiệm m = −1 ở Ví dụ 2, hoặc ngược lại, nhận nhầm một m làm hàm thành bậc hai.
- Quên điều kiện dấu của a. Chỉ giải Δ′ ≤ 0 mà không kèm a > 0 thì lẫn cả trường hợp hàm nghịch biến.
- Tính Δ′ sai hệ số. Với y′ = 3ax² + 2bx + c, b′ = b chứ không phải 2b. Ở Ví dụ 1, Δ′ = 3² − 3m, không phải 6² − 3m.
- Nhầm yêu cầu "trên ℝ" với "trên một khoảng". Đồng biến trên (0; +∞) là bài khác, điều kiện lỏng hơn, cách làm là cô lập tham số. Danh mục này có bài riêng cho dạng đó.
Dùng vào đâu
- Thi tốt nghiệp THPT: "tìm m để hàm bậc ba đồng biến trên ℝ" và "có bao nhiêu số nguyên m" là dạng quen thuộc trong phần ứng dụng đạo hàm của chương trình phổ thông.
- Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất: hàm đồng biến trên ℝ cắt mỗi đường y = k đúng một lần, nên f(x) = k có đúng một nghiệm. Ví dụ x³ + 3x² + 4x = k có đúng một nghiệm với mọi k, vì m = 4 ≥ 3.
- Lập trình và mô phỏng: khi cần một đường cong bậc ba luôn tăng (chẳng hạn đường chuyển màu, đường gia tốc mượt), điều kiện b² − 3ac ≤ 0 là phép kiểm nhanh để tránh đoạn đi lùi.
- Học tiếp: dạng đơn điệu trên một khoảng cho trước, rồi dạng hai cực trị thoả điều kiện — chính là trường hợp ngược lại, khi Δ′ > 0.
Câu hỏi thường gặp
Điều kiện để hàm bậc ba đồng biến trên ℝ là gì?
Với y = ax³ + bx² + cx + d và a ≠ 0, hàm đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi a > 0 và b² − 3ac ≤ 0. Đây chính là điều kiện để đạo hàm y′ = 3ax² + 2bx + c không âm với mọi x.
Vì sao lấy Δ′ ≤ 0 mà không phải Δ′ < 0?
Khi Δ′ = 0, đạo hàm bằng 0 tại đúng một điểm và dương ở mọi chỗ khác, hàm vẫn tăng trên toàn ℝ, giống y = x³ tại x = 0. Loại Δ′ = 0 là bỏ sót giá trị m ở biên.
Hệ số a chứa m thì làm thế nào?
Giải a = 0 trước, thay giá trị m tìm được vào hàm và kiểm trực tiếp. Sau đó với a ≠ 0 mới dùng điều kiện a > 0 và Δ′ ≤ 0, cuối cùng hợp hai phần lại.
Hàm bậc ba có thể nghịch biến trên ℝ không?
Có, khi a < 0 và b² − 3ac ≤ 0. Ví dụ y = −x³ + mx² − 3x + 4 nghịch biến trên ℝ khi −3 ≤ m ≤ 3.
Hàm bậc ba đồng biến trên ℝ thì có cực trị không?
Không. Đồng biến trên ℝ nghĩa là y′ không đổi dấu, nên không có điểm cực trị. Hàm bậc ba có hai cực trị khi và chỉ khi Δ′ > 0, đúng phần bù của điều kiện đơn điệu.
