Phương trình lượng giác chứa tham số: điều kiện có nghiệm của sin x = m

Phương trình sin x = m có nghiệm khi và chỉ khi −1 ≤ m ≤ 1 (cos x = m cũng vậy), còn tan x = m có nghiệm với mọi m. Phương trình a sin x + b cos x = c (a, b không đồng thời bằng 0) có nghiệm khi và chỉ khi a² + b² ≥ c². Hầu hết bài "tìm m để phương trình lượng giác có nghiệm" đều quy về một trong hai điều kiện này, sau một vài bước biến đổi đại số.

Bài này giải thích nguồn gốc hai điều kiện, giải bốn ví dụ có tham số (trong đó có ví dụ hệ số của sin x chứa m và ví dụ giới hạn x trong một đoạn), và chỉ ra các lỗi hay gặp như quên miền giá trị khi đặt t = sin x.

Hai điều kiện gốc và vì sao chúng đúng

Điều kiện của sin x = m: từ đường tròn lượng giác

Trên đường tròn lượng giác bán kính 1, sin x là tung độ của điểm ứng với góc x. Tung độ của một điểm trên đường tròn bán kính 1 chỉ chạy từ −1 đến 1. Vì thế sin x = m chỉ có nghiệm khi m nằm trong đoạn [−1; 1]. Khi m thuộc đoạn đó, đường nằm ngang y = m cắt đường tròn tại hai điểm (hoặc một điểm khi m = ±1), cho hai họ nghiệm:

• x = α + k2π và x = π − α + k2π, với α là một góc có sin α = m (thường lấy α = arcsin m), k ∈ ℤ.

Lý luận tương tự cho cos x = m (hoành độ). Riêng tan x nhận mọi giá trị thực, nên tan x = m luôn có nghiệm x = arctan m + kπ.

Điều kiện của a sin x + b cos x = c: gộp về một hàm sin

Đặt r = √(a² + b²) > 0. Chia hai vế cho r: (a/r) sin x + (b/r) cos x = c/r. Vì (a/r)² + (b/r)² = 1, tồn tại góc φ với cos φ = a/r, sin φ = b/r. Khi đó vế trái là sin x cos φ + cos x sin φ = sin(x + φ). Phương trình thành:

sin(x + φ) = c/√(a² + b²).

Theo điều kiện của sin, có nghiệm ⇔ |c|/√(a² + b²) ≤ 1 ⇔ c² ≤ a² + b². Một hệ quả hay dùng: giá trị lớn nhất của a sin x + b cos x là √(a² + b²), nhỏ nhất là −√(a² + b²).

Phương pháp chung

1. Biến đổi phương trình về một trong các dạng cơ bản: sin x = (biểu thức của m), cos x = …, hoặc a sin x + b cos x = c.
2. Nếu hệ số trước sin x (hoặc cos x) chứa m, xét riêng khi hệ số đó bằng 0 trước khi chia.
3. Viết điều kiện có nghiệm: −1 ≤ … ≤ 1, hoặc a² + b² ≥ c².
4. Giải bất phương trình theo m.
5. Nếu x bị giới hạn trong một đoạn, vẽ đường tròn hoặc bảng giá trị để đếm nghiệm trong đoạn đó.
6. Thử lại với một giá trị m ở biên.

Ví dụ 1: (m − 1) sin x = m + 1

Trường hợp hệ số bằng 0

m = 1: phương trình thành 0 = 2, vô nghiệm.

Trường hợp m ≠ 1

sin x = (m + 1)/(m − 1). Có nghiệm ⇔ |(m + 1)/(m − 1)| ≤ 1 ⇔ |m + 1| ≤ |m − 1| ⇔ (m + 1)² ≤ (m − 1)² ⇔ m² + 2m + 1 ≤ m² − 2m + 1 ⇔ 4m ≤ 0 ⇔ m ≤ 0.

Giá trị m ≤ 0 đều khác 1, nên đáp số: m ≤ 0.

Thử lại

m = 0: −sin x = 1, tức sin x = −1, có nghiệm x = −π/2 + k2π. Đúng.

m = −1: −2 sin x = 0, tức sin x = 0, có nghiệm x = kπ. Đúng.

m = 1/2 (ngoài đáp số): −(1/2) sin x = 3/2, tức sin x = −3, vô nghiệm. Đúng.

Cách so |m + 1| ≤ |m − 1| bằng hình học cũng nhanh: khoảng cách từ m tới −1 không lớn hơn khoảng cách từ m tới 1, tức m nằm bên trái hoặc đúng điểm giữa 0.

Ví dụ 2 và 3: dạng a sin x + b cos x = c

Ví dụ 2: 3 sin x + m cos x = 5

a = 3, b = m, c = 5. Có nghiệm ⇔ 9 + m² ≥ 25 ⇔ m² ≥ 16 ⇔ m ≤ −4 hoặc m ≥ 4.

Thử lại m = 4: 3 sin x + 4 cos x = 5. Chia cho 5: (3/5) sin x + (4/5) cos x = 1. Chọn φ với cos φ = 3/5, sin φ = 4/5, phương trình là sin(x + φ) = 1, nghiệm x = π/2 − φ + k2π. Kiểm: tại x = π/2 − φ thì sin x = cos φ = 3/5 và cos x = sin φ = 4/5, nên 3·(3/5) + 4·(4/5) = 9/5 + 16/5 = 5. Đúng.

Thử m = 3 (ngoài đáp số): giá trị lớn nhất của 3 sin x + 3 cos x là √18 ≈ 4,24 < 5, không thể bằng 5. Vô nghiệm, đúng.

Ví dụ 3: sin x + m cos x = m + 1

a = 1, b = m, c = m + 1 (a = 1 ≠ 0 nên không lo suy biến). Có nghiệm ⇔ 1 + m² ≥ (m + 1)² ⇔ 1 + m² ≥ m² + 2m + 1 ⇔ 0 ≥ 2m ⇔ m ≤ 0.

Thử lại m = −1: sin x − cos x = 0, tức tan x = 1, nghiệm x = π/4 + kπ. Có nghiệm. Đúng.

Thử m = 1: sin x + cos x = 2. Giá trị lớn nhất của vế trái là √2 ≈ 1,41 < 2. Vô nghiệm, đúng.

Thử m = 0: sin x = 1, có nghiệm x = π/2 + k2π. Đúng, m = 0 là giá trị biên được nhận.

Ví dụ 4: khi x bị giới hạn — sin x = m với x ∈ [0; π]

Trên đoạn [0; π], điểm trên đường tròn đi từ (1; 0) qua đỉnh (0; 1) đến (−1; 0), tung độ sin x chạy từ 0 lên 1 rồi về 0. Vậy:

• m < 0 hoặc m > 1: vô nghiệm trong đoạn.
• 0 ≤ m < 1: hai nghiệm, x = arcsin m và x = π − arcsin m. Khi m = 0 hai nghiệm là 0 và π.
• m = 1: một nghiệm x = π/2.

Thử lại m = 1/2: trong [0; π] có x = π/6 và x = 5π/6, cả hai đều có sin bằng 1/2. Hai nghiệm, khớp.

Ví dụ này cho thấy điều kiện −1 ≤ m ≤ 1 chỉ đúng cho x ∈ ℝ. Khi đề giới hạn x, miền giá trị thay đổi và phải đếm lại.

Biến thể đặt ẩn phụ: 2sin²x − sin x − m = 0

Đặt t = sin x, t ∈ [−1; 1]. Phương trình có nghiệm x ⇔ phương trình m = 2t² − t có nghiệm t trong [−1; 1]. Hàm bậc hai 2t² − t có đỉnh tại t = 1/4, giá trị 2·(1/16) − 1/4 = −1/8; tại t = −1 bằng 3; tại t = 1 bằng 1. Trên đoạn [−1; 1], biểu thức nhận mọi giá trị từ −1/8 đến 3. Đáp số: −1/8 ≤ m ≤ 3. Thử m = 3: t = −1 là nghiệm (2 + 1 − 3 = 0), tức sin x = −1, có nghiệm. Đúng.

Bảng kết luận biện luận

Lỗi hay gặp

• Chia cho hệ số chứa m mà không xét nó bằng 0, như m = 1 ở ví dụ 1.
• Viết điều kiện a² + b² > c² (thiếu dấu bằng), làm mất đúng giá trị biên như m = ±4 ở ví dụ 2.
• Quên t = sin x chỉ chạy trong [−1; 1], rồi nhận cả nghiệm t ngoài đoạn.
• Dùng điều kiện −1 ≤ m ≤ 1 khi x bị giới hạn trong một đoạn, như ví dụ 4.
• Nhân chéo (m + 1)/(m − 1) ≤ 1 với m − 1 mà không xét dấu mẫu, hoặc chỉ viết một vế "≤ 1" mà quên vế "≥ −1". An toàn nhất là đưa về |m + 1| ≤ |m − 1| rồi mới bình phương, vì hai vế lúc đó đều không âm.
• Nhầm độ và radian khi ghi nghiệm: trong chương trình phổ thông, nghiệm thường viết theo radian với chu kỳ 2π.

Dùng vào đâu

• Thi cử: điều kiện a² + b² ≥ c² là công cụ nhanh nhất cho các câu trắc nghiệm "phương trình … có nghiệm khi nào", và cũng là cách tìm nhanh giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của a sin x + b cos x.
• Vật lý: tổng hợp hai dao động cùng tần số, a sin ωt + b cos ωt, cho biên độ √(a² + b²). Đó chính là phép gộp ở phần trên.
• Kỹ thuật đặt ẩn phụ: ví dụ 2sin²x − sin x − m = 0 cho thấy biện luận lượng giác thường quay về biện luận phương trình bậc hai trên một đoạn — cùng tinh thần với bài đặt t = x² trong danh mục này.