Hình vuông logic là sơ đồ đặt bốn kiểu phán đoán A, E, I, O (cùng chủ từ, cùng vị từ) ở bốn góc để chỉ ra quan hệ đúng sai giữa chúng. A với O, E với I là mâu thuẫn: luôn một đúng một sai. A với E là đối chọi trên: không thể cùng đúng nhưng có thể cùng sai. I với O là đối chọi dưới: không thể cùng sai nhưng có thể cùng đúng. A với I, E với O là thứ bậc: phán đoán chung đúng thì phán đoán riêng bên dưới cũng đúng.
Bốn góc của hình vuông
Chọn một chủ từ và một vị từ cụ thể: S là "học sinh lớp 6B", P là "người biết bơi". Bốn phán đoán:
- A (góc trên bên trái): "Mọi học sinh lớp 6B đều biết bơi."
- E (góc trên bên phải): "Không học sinh lớp 6B nào biết bơi."
- I (góc dưới bên trái): "Một số học sinh lớp 6B biết bơi."
- O (góc dưới bên phải): "Một số học sinh lớp 6B không biết bơi."
Hai cạnh trên – dưới nối các phán đoán cùng lượng khác chất; hai cạnh đứng nối các phán đoán cùng chất khác lượng; hai đường chéo nối các phán đoán khác cả chất lẫn lượng. Mỗi đường là một loại quan hệ.
Aristotle đã bàn các quan hệ đối lập giữa những phán đoán như thế trong Về diễn giải, một tác phẩm thuộc bộ Organon. Hình vẽ hình vuông là do các nhà chú giải đời sau vẽ ra để dạy, và nó trở thành hình quen thuộc của logic học châu Âu suốt nhiều thế kỷ.
Đường chéo: quan hệ mâu thuẫn
A với O, E với I luôn ngược giá trị: một đúng thì một sai, một sai thì một đúng. Không bao giờ cùng đúng, không bao giờ cùng sai.
Lý do rất đời thường. "Mọi bạn lớp 6B biết bơi" sai khi và chỉ khi có ít nhất một bạn không biết bơi — đó chính là O. Tương tự, "Không bạn nào biết bơi" sai khi và chỉ khi có ít nhất một bạn biết bơi — đó là I.
Từ đây ra hai bài học thực hành:
- Muốn bác một câu "mọi…", chỉ cần một phản ví dụ. Một bạn không biết bơi là đủ làm sập câu A.
- Phủ định của A là O, không phải E. "Không phải bạn nào cũng biết bơi" nghĩa là có bạn không biết bơi, chứ không phải "không bạn nào biết bơi". Nhảy từ đỉnh này sang đỉnh kia là một lỗi rất hay gặp, cả trong bài thi lẫn trong cãi nhau.
Các cạnh: hai loại đối chọi và quan hệ thứ bậc
Đối chọi trên: A và E
"Mọi bạn biết bơi" và "Không bạn nào biết bơi" không thể cùng đúng (miễn là lớp có học sinh). Nhưng chúng có thể cùng sai: khi lớp có bạn biết bơi và có bạn không, cả hai câu đều trượt. Vì vậy biết A sai thì chưa suy ra E đúng — đây là chỗ khác với mâu thuẫn.
Đối chọi dưới: I và O
"Một số bạn biết bơi" và "Một số bạn không biết bơi" không thể cùng sai: nếu cả hai sai thì không bạn nào biết bơi và cũng không bạn nào không biết bơi, vô lý với một lớp có người. Nhưng chúng có thể cùng đúng, và trong đời thực thường là thế. Biết I đúng thì chưa biết gì về O.
Câu nhớ gọn: trên không cùng đúng, dưới không cùng sai.
Cạnh đứng: thứ bậc
A đứng trên I, E đứng trên O. Phán đoán chung là "cấp trên", phán đoán riêng cùng chất là "cấp dưới".
- Trên đúng thì dưới đúng: mọi bạn biết bơi thì chắc chắn có bạn biết bơi.
- Dưới sai thì trên sai: nếu không có bạn nào biết bơi thì "mọi bạn biết bơi" sai.
- Trên sai thì dưới chưa biết: không phải mọi bạn biết bơi, nhưng có thể vẫn có vài bạn biết.
- Dưới đúng thì trên chưa biết: có bạn biết bơi chưa có nghĩa là cả lớp biết.
Bảng suy luận trực tiếp đầy đủ
Ghép bốn loại quan hệ, từ giá trị của một góc ta suy ra các góc còn lại. Dấu "?" là chưa xác định được.
| Biết | A | E | I | O |
|---|---|---|---|---|
| A đúng | đúng | sai | đúng | sai |
| A sai | sai | ? | ? | đúng |
| E đúng | sai | đúng | sai | đúng |
| E sai | ? | sai | đúng | ? |
| I đúng | ? | sai | đúng | ? |
| I sai | sai | đúng | sai | đúng |
| O đúng | sai | ? | ? | đúng |
| O sai | đúng | sai | đúng | sai |
Không cần học thuộc bảng; dựng lại được trong ba bước. Ví dụ biết "Một số bạn lớp 6B không biết bơi" là sai (O sai):
- Theo đường chéo, A mâu thuẫn với O nên A đúng: mọi bạn biết bơi.
- Theo cạnh đứng, A đúng thì I đúng: có bạn biết bơi.
- Theo đường chéo, I đúng thì E sai.
Thử lại bằng một lớp cụ thể: lớp 6B có 30 bạn, cả 30 đều biết bơi. Khi đó O ("có bạn không biết bơi") sai đúng như giả thiết; A đúng, I đúng, E sai — khớp với dòng "O sai" của bảng.
Một ví dụ cho dòng có dấu "?": biết A sai. Lớp X có 30 bạn đều không biết bơi, lớp Y có 15 bạn biết, 15 bạn không. Ở cả hai lớp A đều sai và O đều đúng; nhưng ở lớp X thì E đúng, I sai, còn ở lớp Y thì E sai, I đúng. Hai tình huống cùng khớp với "A sai" mà cho E, I khác nhau, nên E và I không xác định được.
Ghi chú: giả định tồn tại và logic hiện đại
Mọi quan hệ trên đều ngầm giả định một điều: chủ từ S có ít nhất một đối tượng. Logic hiện đại không mặc định điều này, và khi đó hình vuông bị co lại.
Viết theo kiểu hiện đại, dùng ∀ là "với mọi", ∃ là "tồn tại", → là "nếu… thì…", ∧ là "và", ¬ là "không":
- A: ∀x (S(x) → P(x))
- E: ∀x (S(x) → ¬P(x))
- I: ∃x (S(x) ∧ P(x))
- O: ∃x (S(x) ∧ ¬P(x))
Nếu không có đối tượng nào là S, thì mỗi câu "S(x) → …" đều đúng với mọi x (vì vế trước sai), nên A và E cùng đúng; còn I và O cần "tồn tại x là S" nên cùng sai. Lấy ví dụ S là "học sinh lớp 6B cao trên 2 mét" khi lớp không có ai như vậy: "Mọi học sinh lớp 6B cao trên 2 mét đều được miễn chạy bền" và "Không học sinh lớp 6B cao trên 2 mét nào được miễn chạy bền" cùng đúng theo cách hiểu hiện đại. Đối chọi trên, đối chọi dưới và thứ bậc đều gãy; chỉ hai đường chéo mâu thuẫn còn đứng vững.
Đây không phải là bên nào sai. Hai hệ thống chọn hai quy ước khác nhau về chữ "mọi" khi lớp đối tượng rỗng. Làm bài theo giáo trình Logic học đại cương thì dùng hình vuông truyền thống, ngầm hiểu S không rỗng; làm toán hay lập trình thì nhớ rằng mệnh đề "với mọi x thuộc tập rỗng…" luôn đúng.
Dùng vào đâu
- Thi cử: dạng "cho biết phán đoán này đúng (sai), xác định giá trị các phán đoán còn lại" là bài tập chuẩn trong Logic học đại cương. Ở phổ thông, phủ định mệnh đề có ∀, ∃ trong Toán 10 dùng đúng hai đường chéo.
- Đọc báo, đọc quảng cáo: "không phải sản phẩm nào cũng đạt chuẩn" là O, không phải E. Ngược lại, thấy một sản phẩm đạt chuẩn (I đúng) chưa đủ để tin "mọi sản phẩm đều đạt chuẩn".
- Lập trình: kiểm "mọi phần tử thoả điều kiện" trên danh sách rỗng thường trả về đúng — đó chính là ghi chú giả định tồn tại ở trên, hay gây bất ngờ cho người mới.
- Học tiếp: mục "The Traditional Square of Opposition" trên Stanford Encyclopedia of Philosophy bàn kỹ chuyện giả định tồn tại.
Bài tập
- Biết "Mọi cầu thủ đội trường đều đã khám sức khoẻ" đúng. Ba phán đoán E, I, O cùng chủ từ, vị từ thế nào? Đáp án: E sai, I đúng, O sai.
- Biết "Một số món trong thực đơn có đậu phộng" sai. Suy ra gì? Đáp án: I sai nên E đúng (không món nào có đậu phộng), A sai, O đúng.
- Biết "Không bạn nào trong nhóm quên mang áo mưa" sai. Có kết luận được "mọi bạn đều quên" không? Đáp án: không. E sai chỉ cho I đúng (có bạn quên); A và O chưa xác định.
- Phủ định của "Mọi chuyến xe hôm nay đều đúng giờ" là gì? Đáp án: "Có ít nhất một chuyến xe hôm nay không đúng giờ" (O), không phải "Không chuyến nào đúng giờ".
- Hai câu "Một số quả cam trong giỏ bị dập" và "Một số quả cam trong giỏ không bị dập" có thể cùng sai không? Đáp án: không, nếu giỏ có cam (đối chọi dưới). Nếu giỏ rỗng thì theo cách hiểu hiện đại cả hai cùng sai — đó là lý do cần giả định tồn tại.
Câu hỏi thường gặp
Hình vuông logic là gì?
Hình vuông logic là sơ đồ đặt bốn kiểu phán đoán A, E, I, O có cùng chủ từ và vị từ ở bốn góc một hình vuông. Các cạnh và đường chéo biểu diễn quan hệ mâu thuẫn, đối chọi trên, đối chọi dưới và thứ bậc. Nhờ nó, biết giá trị một phán đoán là suy ra được giá trị các phán đoán còn lại.
Quan hệ mâu thuẫn và đối chọi khác nhau thế nào?
Hai phán đoán mâu thuẫn (A – O, E – I) luôn ngược giá trị: không cùng đúng, không cùng sai. Hai phán đoán đối chọi trên (A – E) không cùng đúng nhưng có thể cùng sai; hai phán đoán đối chọi dưới (I – O) không cùng sai nhưng có thể cùng đúng.
Phủ định của "tất cả" là gì?
Phủ định của "Mọi S là P" là "Có ít nhất một S không là P" (kiểu O), không phải "Không S nào là P" (kiểu E). Vì vậy muốn bác một khẳng định "mọi", chỉ cần một phản ví dụ.
Quan hệ thứ bậc trong hình vuông logic là gì?
Là quan hệ giữa phán đoán chung và phán đoán riêng cùng chất: A với I, E với O. Chung đúng thì riêng đúng; riêng sai thì chung sai; các trường hợp còn lại chưa xác định.
Vì sao logic hiện đại không giữ nguyên hình vuông logic?
Vì logic hiện đại không mặc định chủ từ có đối tượng. Khi lớp S rỗng, các câu "mọi S…" đều đúng còn các câu "có S…" đều sai, nên chỉ quan hệ mâu thuẫn còn đứng vững. Hình vuông truyền thống vẫn dùng tốt khi ngầm hiểu S không rỗng.
