Song đề (dilemma) là kiểu suy luận kết hợp hai câu "nếu… thì…" với một câu "hoặc": "nếu p thì r; nếu q thì r; p hoặc q; vậy r". Vì cả hai ngả đều dẫn tới cùng một chỗ, biết chắc có một ngả xảy ra là đủ để kết luận, dù không biết ngả nào. Song đề có bốn dạng — xây dựng hoặc phá huỷ, đơn hoặc phức — và cả bốn đều hợp lệ; muốn bác một song đề phải tấn công tiền đề, không phải hình thức.
Một tình huống quen thuộc
Hoa đang chọn đội tuyển của trường: đội Toán hay đội Tin. Cô phụ trách nói: "Đội Toán tập chiều thứ Năm. Đội Tin cũng tập chiều thứ Năm." Hoa chắc chắn sẽ vào một trong hai đội. Vậy dù chọn đội nào, Hoa cũng phải để trống chiều thứ Năm.
Hoa chưa quyết định, mà kết luận đã chắc. Đó là sức mạnh của song đề: nó cho phép suy luận khi còn chưa biết trường hợp nào xảy ra, miễn là đã xét đủ các trường hợp và trường hợp nào cũng cho cùng một kết quả.
Viết bằng ký hiệu, với p = "Hoa vào đội Toán", q = "Hoa vào đội Tin", r = "Hoa bận chiều thứ Năm"; dấu → là "nếu… thì…", ∨ là "hoặc" (ít nhất một vế đúng), ¬ là "không":
p → r; q → r; p ∨ q; vậy r.
Bốn dạng song đề
| Dạng | Tiền đề | Kết luận | Ý chính |
|---|---|---|---|
| Xây dựng đơn | p → r; q → r; p ∨ q | r | Hai ngả, cùng một đích |
| Xây dựng phức | p → r; q → s; p ∨ q | r ∨ s | Hai ngả, hai đích — chắc chắn tới một trong hai |
| Phá huỷ đơn | p → q; p → r; ¬q ∨ ¬r | ¬p | Một điều kiện, hai hệ quả; thiếu một hệ quả là bác được điều kiện |
| Phá huỷ phức | p → r; q → s; ¬r ∨ ¬s | ¬p ∨ ¬q | Thiếu một trong hai hệ quả ⇒ một trong hai điều kiện không xảy ra |
Tên gọi trong các giáo trình tiếng Việt có khác nhau (song đề kiến thiết hoặc xây dựng; song đề phá huỷ; đơn hoặc phức), nhưng bốn khuôn thì thống nhất. Dạng "xây dựng" mở rộng modus ponens cho hai câu điều kiện; dạng "phá huỷ" mở rộng modus tollens.
Xây dựng phức
"Nếu đi đường cao tốc thì mất phí. Nếu đi đường cũ thì mất thêm một giờ. Chuyến này đi cao tốc hoặc đường cũ. Vậy hoặc mất phí, hoặc mất thêm một giờ." Kết luận không chọn hộ đường nào; nó chỉ khoanh lại cái giá phải trả.
Phá huỷ đơn
"Nếu Tuấn ở nhà thì xe máy của Tuấn dựng ở sân và đèn phòng Tuấn sáng. Xe không có ở sân, hoặc đèn phòng không sáng. Vậy Tuấn không ở nhà." Chỉ cần một trong hai dấu hiệu vắng mặt là đủ bác điều kiện.
Phá huỷ phức
"Nếu Linh đã ôn chương 3 thì Linh làm được câu 4. Nếu Linh đã ôn chương 5 thì Linh làm được câu 6. Linh không làm được câu 4 hoặc không làm được câu 6. Vậy Linh chưa ôn chương 3 hoặc chưa ôn chương 5."
Vì sao cả bốn dạng hợp lệ
Dùng cách suy ngược: giả sử kết luận sai và mọi tiền đề đúng, xem có vô lý không.
- Xây dựng đơn: r sai. Từ p → r đúng ⇒ p sai; từ q → r đúng ⇒ q sai. Khi đó p ∨ q sai — mâu thuẫn với tiền đề.
- Xây dựng phức: r ∨ s sai ⇒ r sai và s sai ⇒ p sai, q sai ⇒ p ∨ q sai — mâu thuẫn.
- Phá huỷ đơn: ¬p sai ⇒ p đúng ⇒ q đúng, r đúng ⇒ ¬q ∨ ¬r sai — mâu thuẫn.
- Phá huỷ phức: ¬p ∨ ¬q sai ⇒ p đúng và q đúng ⇒ r đúng, s đúng ⇒ ¬r ∨ ¬s sai — mâu thuẫn.
Cả bốn lần đều đụng mâu thuẫn, nên không có trường hợp nào tiền đề đúng hết mà kết luận sai.
Biến thể sai hay gặp
"Nếu đi cao tốc thì mất phí. Nếu đi đường cũ thì mất thêm một giờ. Chuyến này mất phí. Vậy đã đi cao tốc." Đây không còn là song đề mà là khẳng định hậu kiện mặc áo song đề: có thể đi đường cũ mà vẫn mất phí gửi xe ở trạm dừng. Tương tự, từ "p → r; q → s; ¬p ∨ ¬q" không suy ra được "¬r ∨ ¬s" — đó là phủ định tiền kiện. Quy tắc giữ nguyên như với một câu điều kiện: khẳng định vế trước, hoặc phủ định vế sau.
Song đề trong toán: chứng minh bằng cách chia trường hợp
Song đề xây dựng đơn chính là khung của lối "xét hai trường hợp" quen thuộc.
Ví dụ. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, số n² + n là số chẵn.
- Mọi số nguyên n hoặc chẵn hoặc lẻ (p ∨ q).
- Nếu n chẵn: n² + n = n(n + 1) có thừa số n chẵn, nên là số chẵn (p → r).
- Nếu n lẻ: n + 1 chẵn, nên n(n + 1) chẵn (q → r).
- Vậy n² + n luôn chẵn (r).
Thử lại bằng số cụ thể: n = 4 cho 16 + 4 = 20, chẵn; n = 7 cho 49 + 7 = 56, chẵn; n = −3 cho 9 − 3 = 6, chẵn.
Điều kiện sống còn của lối chứng minh này là các trường hợp phải phủ kín: "chẵn hoặc lẻ" phủ kín mọi số nguyên. Nếu chỉ xét "n dương" và "n âm" mà quên n = 0, chứng minh bị hở đúng một chỗ.
Bác một song đề: tấn công tiền đề
Song đề hợp lệ, nên nếu thấy kết luận khó chấp nhận thì lỗi (nếu có) nằm ở tiền đề. Logic truyền thống đặt tên hình ảnh cho ba cách:
- Nắm lấy sừng (grasping by the horns): chỉ ra một câu điều kiện sai. "Đội Tin có tập chiều thứ Năm thật không? Hay chỉ đội Toán?" Một câu điều kiện sai là song đề mất tính vững.
- Lách giữa hai sừng (escaping between the horns): chỉ ra câu "hoặc" chưa phủ kín — còn ngả thứ ba. "Hoa có thể không vào đội nào." Đây là lỗi hay gặp nhất của song đề trong đời thường: người lập luận bày ra hai ngả như thể chỉ có hai.
- Phản song đề: dựng một song đề khác, cùng tiền đề "hoặc", dẫn tới kết luận ngược hướng. Cách này về mặt logic thường không bác được song đề gốc (hai kết luận có thể cùng đúng), nó chỉ cho thấy cùng một tình huống có thể nhìn từ phía khác.
Giai thoại nổi tiếng nhất về phản song đề là chuyện Protagoras và học trò Euathlus, do Aulus Gellius kể lại: thầy kiện trò đòi học phí, mỗi bên dựng một song đề "thắng kiện hay thua kiện thì mình cũng có lợi". Đó là giai thoại, không phải ghi chép xét xử, và nó dính tới tự quy chiếu — phần đó là đất của nghịch lý, không bàn ở đây. Kỹ thuật dùng song đề trên sàn tranh biện cũng thuộc mảng khác.
Bài tập
- "Nếu trời nắng thì cả lớp đi tham quan vườn quốc gia. Nếu trời mưa thì cả lớp đi bảo tàng. Mai trời nắng hoặc mưa. Vậy…?" Đáp án: "Mai cả lớp đi tham quan vườn quốc gia hoặc đi bảo tàng" — song đề xây dựng phức. (Vững nếu "nắng hoặc mưa" phủ kín; trời âm u không mưa là ngả thứ ba.)
- Từ p → r, q → r và p ∨ q, suy ra được r không? Đáp án: Được — song đề xây dựng đơn, hợp lệ.
- Từ p → r, q → s và r ∨ s, suy ra p ∨ q được không? Đáp án: Không. Phản ví dụ: p sai, q sai, r đúng — hai câu điều kiện đúng (vế trước sai), r ∨ s đúng, mà p ∨ q sai.
- "Nếu bể cá được lọc đều thì nước trong và cá khoẻ. Nước bể đục. Vậy…?" Đáp án: "Bể không được lọc đều." Đây là song đề phá huỷ đơn với vế "¬q ∨ ¬r" được thoả nhờ ¬q (nước không trong).
- Chứng minh: với mọi số thực x, |x| ≥ x. Chỉ ra các trường hợp và kiểm chúng có phủ kín không. Đáp án: Xét x ≥ 0: |x| = x nên |x| ≥ x. Xét x < 0: |x| = −x > 0 > x. Hai trường hợp x ≥ 0 và x < 0 phủ kín ℝ. Thử: x = −2 cho |x| = 2 ≥ −2.
Dùng vào đâu
- Chứng minh toán: chia trường hợp là lối đi chính khi gặp trị tuyệt đối, chẵn – lẻ, số dư khi chia.
- Ra quyết định: khi mọi lựa chọn đều dẫn tới cùng một việc cần chuẩn bị, chuẩn bị luôn, khỏi đợi quyết định cuối.
- Nghe một lập luận "đằng nào cũng…": hỏi ngay hai câu — mỗi ngả có thật dẫn tới đó không, và đã hết ngả chưa.
- Học tiếp: suy diễn tự nhiên, nơi song đề xây dựng đơn trở thành quy tắc "khử hoặc" (xét từng trường hợp).
Câu hỏi thường gặp
Song đề trong logic là gì?
Song đề là suy luận kết hợp hai câu điều kiện với một câu lựa chọn, dạng cơ bản là "nếu p thì r; nếu q thì r; p hoặc q; vậy r". Vì cả hai ngả đều dẫn tới r, chỉ cần biết một trong hai ngả xảy ra là kết luận được r.
Song đề có mấy dạng?
Bốn dạng: xây dựng đơn, xây dựng phức, phá huỷ đơn và phá huỷ phức. Dạng xây dựng khẳng định vế trước của các câu điều kiện; dạng phá huỷ phủ định vế sau. Cả bốn đều hợp lệ.
Làm sao bác bỏ một song đề?
Vì song đề hợp lệ về hình thức, chỉ có thể bác bằng cách chỉ ra tiền đề sai: một câu điều kiện không đúng, hoặc câu "hoặc" chưa phủ kín mọi khả năng. Dựng phản song đề thường chỉ cho thấy một góc nhìn khác chứ không bác được song đề gốc.
Song đề liên quan gì đến chứng minh chia trường hợp?
Chứng minh chia trường hợp chính là song đề xây dựng đơn: các trường hợp phủ kín, trường hợp nào cũng dẫn tới điều cần chứng minh. Ví dụ chứng minh n² + n chẵn bằng cách xét n chẵn và n lẻ.