Principia Mathematica là bộ sách ba tập (1910, 1912, 1913) của Alfred North Whitehead và Bertrand Russell, cố gắng rút toàn bộ toán học ra từ một ít tiên đề logic. Câu chuyện quen thuộc "phải hơn ba trăm trang mới chứng minh được 1 + 1 = 2" có phần đúng nhưng hay bị kể sai: ở gần cuối tập I, mệnh đề đánh số *54.43 kèm lời bình rằng từ đó sẽ suy ra 1 + 1 = 2 khi phép cộng số học được định nghĩa; phép cộng ấy chỉ được định nghĩa và mệnh đề 1 + 1 = 2 chỉ hoàn tất ở tập II.
Hai tác giả và một tham vọng
Alfred North Whitehead (1861–1947) là nhà toán học ở Cambridge, từng là thầy của Bertrand Russell (1872–1970). Cả hai cùng tin vào chủ nghĩa logic: số học, và qua đó phần lớn toán học, chỉ là logic được triển khai kỹ. Nếu đúng, mọi định lý toán học đều có thể rút ra từ vài nguyên lý logic bằng những bước kiểm tra được.
Frege đã theo đuổi chính mục tiêu ấy (xem bài về Begriffsschrift trong danh mục này). Năm 1902, Russell phát hiện hệ của Frege dẫn tới mâu thuẫn — nghịch lý Russell, thuộc chuyên đề nghịch lý nên không giải ở đây. Principia là nỗ lực làm lại từ đầu, đủ cẩn thận để tránh loại mâu thuẫn đó. Công việc kéo dài khoảng mười năm, từ đầu thập niên 1900.
Bộ sách dày đến mức nhà xuất bản Đại học Cambridge dự tính sẽ lỗ. Theo lời Russell kể lại trong tự truyện, phần lỗ được chia giữa nhà xuất bản, Hội Hoàng gia và chính hai tác giả: mỗi người bỏ ra 50 bảng, nên mười năm làm việc của họ "được trả" một con số âm.
Vì sao dài đến thế
Chiều dài không đến từ việc 1 + 1 = 2 khó, mà từ việc mọi thứ phải được dựng từ con số không. Trước khi nói được "1" hay "2", phải có:
- Logic mệnh đề: các từ nối "không", "hoặc", "nếu… thì" và các định lý về chúng.
- Logic với lượng từ "mọi", "có một".
- Lý thuyết lớp (tập hợp) và quan hệ, kèm thuyết kiểu (type) để chặn mâu thuẫn: các đối tượng được xếp thành tầng, một lớp chỉ được chứa đối tượng ở tầng thấp hơn nó.
- Định nghĩa "hai lớp có cùng số phần tử": có một cách ghép đôi từng phần tử của lớp này với đúng một phần tử của lớp kia (tương ứng một – một).
- Định nghĩa số: số 1 là lớp của mọi lớp có đúng một phần tử; số 2 là lớp của mọi lớp có đúng hai phần tử.
Mỗi bước là hàng chục, hàng trăm mệnh đề, mỗi mệnh đề chứng minh từ các mệnh đề trước. Các mệnh đề được đánh số kiểu *1.2, *54.43, *110.643 — số trước dấu chấm là "chương", số sau là vị trí trong chương. Ký hiệu đọc rất khó: dấu chấm thay cho dấu ngoặc, ⊃ cho "nếu… thì", ~ cho "không", và dấu "⊢" mượn của Frege để đánh dấu một mệnh đề được khẳng định.
Năm tiên đề của logic mệnh đề
Phần đầu tập I chọn "không" và "hoặc" làm từ nối cơ bản, định nghĩa "nếu p thì q" là "không p hoặc q", rồi nhận năm mệnh đề làm xuất phát điểm (cùng quy tắc: có p và có "p ⊃ q" thì được q). Dưới đây là năm tiên đề, viết bằng ký hiệu gần với ngày nay (∨ là "hoặc", → là "nếu… thì"), kèm cách đọc đời thường:
| Số | Công thức | Đọc thành lời |
|---|---|---|
| *1.2 | (p ∨ p) → p | "Mưa hoặc mưa" thì mưa |
| *1.3 | q → (p ∨ q) | Nếu có trà thì "có cà phê hoặc có trà" cũng đúng |
| *1.4 | (p ∨ q) → (q ∨ p) | Đổi chỗ hai vế của "hoặc" không đổi nghĩa |
| *1.5 | (p ∨ (q ∨ r)) → (q ∨ (p ∨ r)) | Sắp lại thứ tự trong chuỗi "hoặc" |
| *1.6 | (q → r) → ((p ∨ q) → (p ∨ r)) | Nếu q kéo theo r, thì "p hoặc q" kéo theo "p hoặc r" |
Về sau Paul Bernays chỉ ra *1.5 có thể suy từ bốn tiên đề còn lại, nên không cần làm tiên đề. Chi tiết nhỏ này cho thấy tinh thần của logic hiện đại: không chỉ hỏi "có đúng không" mà còn hỏi "có cần không".
Mệnh đề *54.43 nói gì
Đây là dòng nổi tiếng nhất của tập I. Viết lại bằng lời: nếu α và β đều là lớp có đúng một phần tử, thì α và β không có phần tử chung khi và chỉ khi lớp hợp của chúng có đúng hai phần tử. Bên dưới, các tác giả ghi lời bình đại ý: từ mệnh đề này sẽ suy ra 1 + 1 = 2, khi phép cộng số học đã được định nghĩa.
Kiểm bằng ví dụ cụ thể (tự đặt):
- α = {cây bút}, β = {cục tẩy}. Cả hai có một phần tử. Chúng không có phần tử chung. Hợp là {cây bút, cục tẩy} — đúng hai phần tử. Hai vế của "khi và chỉ khi" cùng đúng.
- α = {cây bút}, β = {cây bút} (cùng một cây). Cả hai có một phần tử. Chúng có phần tử chung. Hợp là {cây bút} — chỉ một phần tử, không phải hai. Hai vế cùng sai. Mệnh đề vẫn đúng.
Không thể có trường hợp thứ ba với hai lớp một phần tử: hoặc phần tử của chúng trùng nhau, hoặc khác nhau. Vậy mệnh đề đúng trong mọi trường hợp.
Vì sao đây chưa phải "1 + 1 = 2"? Vì "1 + 1" là phép cộng giữa hai số, mà số trong Principia là lớp của các lớp. Muốn nói "1 + 1 = 2", phải định nghĩa phép cộng số: lấy một lớp thuộc số thứ nhất, một lớp thuộc số thứ hai, không có phần tử chung, rồi lấy số phần tử của hợp. Định nghĩa đó cần thêm máy móc (để bảo đảm luôn chọn được hai lớp rời nhau), và nằm ở tập II.
Tập II: *110.643
Ở tập II (1912), trong phần về phép cộng số đếm, mệnh đề *110.643 phát biểu 1 + 1 = 2 với phép cộng vừa định nghĩa. Người đọc lâu nay hay nhắc lời bình khô khốc đi kèm, đại ý: mệnh đề trên đôi khi có ích. Vậy nói chính xác: 1 + 1 = 2 được chuẩn bị ở tập I và được hoàn tất ở tập II. Câu "trang 379 chứng minh 1 + 1 = 2" lan truyền trên mạng là cách kể gọn quá mức.
Điều cần nhớ không phải con số trang, mà là ý: trong một hệ hình thức đầy đủ, ngay cả điều hiển nhiên nhất cũng phải được chứng minh từ gốc, và chính vì vậy mà kết quả đáng tin.
Số phận của Principia
- 1910, 1912, 1913: ba tập in ở Cambridge. Tập IV về hình học, phần của Whitehead, không bao giờ ra đời.
- 1925–1927: tái bản lần hai, Russell viết thêm lời giới thiệu và phụ lục sửa một số chỗ.
- 1931: Kurt Gödel công bố bài "Về các mệnh đề không quyết định được về mặt hình thức của Principia Mathematica và các hệ liên quan", chỉ ra mọi hệ nhất quán đủ mạnh như thế đều có mệnh đề số học đúng mà không chứng minh được (định lý này có bài riêng ở site toán học AI của hệ). Mục tiêu "rút hết toán học từ logic" theo nghĩa trọn vẹn không thể đạt.
- 1956: chương trình máy tính Logic Theorist của Allen Newell, Herbert Simon và Cliff Shaw chứng minh lại 38 trong 52 định lý đầu của chương 2 Principia — một trong những thành tựu đầu tiên của trí tuệ nhân tạo.
- Ngày nay: các phần mềm kiểm chứng chứng minh làm đúng việc Principia làm bằng tay: mọi bước được máy kiểm, không bước nào ngầm.
Thất bại về mục tiêu cuối cùng không làm Principia vô ích. Bộ sách cho thế hệ sau một ngôn ngữ chung để viết toán học hình thức, và đặt ra những câu hỏi mà Gödel, Turing trả lời — những câu trả lời dẫn thẳng tới máy tính.
Dùng vào đâu
- Hiểu toán học từ gốc: câu hỏi "số 2 là gì" nghe ngớ ngẩn nhưng dắt tới định nghĩa số qua tương ứng một – một — chính cách trẻ nhỏ đếm bằng cách ghép mỗi viên kẹo với một ngón tay.
- Lập trình: phân biệt "định nghĩa" với "định lý", và thói quen không tin điều gì chưa kiểm — tinh thần của kiểm thử phần mềm.
- Học tiếp: mục "Principia Mathematica" của Stanford Encyclopedia of Philosophy; Introduction to Mathematical Philosophy (1919) của Russell viết cho người không chuyên, giải thích định nghĩa số và thuyết kiểu bằng lời. Truyện tranh Logicomix (2009) kể đời Russell ở dạng dễ đọc, nhưng là tác phẩm hư cấu dựa trên sử liệu.
Câu hỏi thường gặp
Principia Mathematica chứng minh 1 + 1 = 2 ở trang nào?
Mệnh đề *54.43 ở gần cuối tập I (1910) kèm lời bình rằng từ đó sẽ suy ra 1 + 1 = 2 khi phép cộng số học được định nghĩa. Phép cộng chỉ được định nghĩa ở tập II, và 1 + 1 = 2 được phát biểu trọn vẹn ở mệnh đề *110.643. Vì thế nói "một trang cụ thể chứng minh 1 + 1 = 2" là đơn giản hoá.
Vì sao Principia cần nhiều trang như vậy?
Vì mọi thứ phải dựng từ vài tiên đề logic: logic mệnh đề, lượng từ, lớp, quan hệ, thuyết kiểu, tương ứng một – một, rồi mới đến định nghĩa số. Mỗi bước được chứng minh tường minh, không bỏ qua điều gì, nên dù 1 + 1 = 2 rất đơn giản, đường dẫn tới nó vẫn dài.
Ai viết Principia Mathematica?
Alfred North Whitehead và Bertrand Russell viết chung, xuất bản ba tập năm 1910, 1912 và 1913 tại Cambridge. Whitehead từng là thầy của Russell. Tập IV về hình học do Whitehead đảm nhận nhưng không bao giờ hoàn thành.
Gödel có bác bỏ Principia Mathematica không?
Gödel không chỉ ra Principia sai, mà chỉ ra một giới hạn: mọi hệ nhất quán đủ mạnh như Principia đều có mệnh đề số học đúng mà không chứng minh được trong hệ. Vì vậy mục tiêu rút toàn bộ toán học từ một hệ tiên đề duy nhất không thể đạt trọn vẹn.
Principia Mathematica của Russell khác Principia của Newton thế nào?
Sách của Isaac Newton (1687) có tên đầy đủ Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, là sách vật lý về chuyển động và lực hấp dẫn. Principia Mathematica của Whitehead và Russell (1910–1913) là sách logic về nền tảng toán học. Hai bộ sách trùng phần tên "Principia Mathematica" nhưng nội dung không liên quan.