Tam thức f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) dương với mọi x khi và chỉ khi a > 0 và Δ < 0; không âm với mọi x khi và chỉ khi a > 0 và Δ ≤ 0. Âm với mọi x thì a < 0 và Δ < 0. Khi a chứa m, phải xét thêm a = 0: lúc đó f(x) là bậc nhất hoặc hằng số, và một hằng số dương vẫn "dương với mọi x". Bỏ sót trường hợp này là lỗi phổ biến nhất của dạng bài.
Bài này giải thích điều kiện bằng hình dạng parabol, giải ba ví dụ (có một ví dụ hỏi "bất phương trình vô nghiệm", tức là câu hỏi "đúng với mọi x" đội lốt), và lập bảng điều kiện để tra nhanh.
Vì sao điều kiện là a và Δ
Đồ thị y = ax² + bx + c là một parabol. Hệ số a quyết định bề lõm: a > 0 thì parabol mở lên, có điểm thấp nhất; a < 0 thì mở xuống, có điểm cao nhất. Biệt thức Δ quyết định parabol cắt trục hoành ở mấy điểm: Δ > 0 cắt hai điểm, Δ = 0 tiếp xúc, Δ < 0 không chạm.
Muốn f(x) > 0 với mọi x, toàn bộ parabol phải nằm trên trục hoành. Điều đó cần parabol mở lên (nếu mở xuống, hai nhánh sẽ đi xuống vô cùng, chắc chắn có chỗ âm) và không chạm trục hoành. Đó là a > 0, Δ < 0.
Cách nói đại số: f(x) = a[(x + b/(2a))² − Δ/(4a²)]. Khi a > 0 và Δ < 0, phần trong ngoặc là một bình phương cộng với một số dương, nên luôn dương. Đây là lý do "định lý về dấu của tam thức bậc hai" trong chương trình lớp 10 phát biểu: Δ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a.
Bảng điều kiện tra nhanh
| Yêu cầu (với mọi x ∈ ℝ) | Khi a ≠ 0 | Khi a = 0 (nếu xảy ra) |
|---|---|---|
| f(x) > 0 | a > 0 và Δ < 0 | b = 0 và c > 0 |
| f(x) ≥ 0 | a > 0 và Δ ≤ 0 | b = 0 và c ≥ 0 |
| f(x) < 0 | a < 0 và Δ < 0 | b = 0 và c < 0 |
| f(x) ≤ 0 | a < 0 và Δ ≤ 0 | b = 0 và c ≤ 0 |
Cột bên phải dựa trên một nhận xét đơn giản: khi a = 0, nếu b ≠ 0 thì f(x) = bx + c là đường thẳng xiên, chắc chắn đổi dấu; chỉ khi b = 0 thì f(x) = c là hằng số, và câu hỏi thành "hằng số c có dương không".
Quan hệ với bất phương trình vô nghiệm
"Bất phương trình f(x) < 0 vô nghiệm" có nghĩa là không có x nào làm f(x) < 0, tức là f(x) ≥ 0 với mọi x. Tương tự, "f(x) ≥ 0 vô nghiệm" ⇔ f(x) < 0 với mọi x. Đây là phép phủ định trong logic: "không tồn tại x để P(x)" tương đương "với mọi x, không P(x)". Dấu bất đẳng thức đổi kèm theo, cả phần dấu bằng.
Phương pháp chung
- Đọc đúng yêu cầu: dương, không âm, âm hay không dương với mọi x. Nếu đề hỏi "vô nghiệm", chuyển sang câu "với mọi x" bằng phép phủ định.
- Nếu a chứa m: xét a = 0, thay vào, xem f(x) có phải hằng số đúng dấu không.
- Với a ≠ 0: viết điều kiện dấu của a và dấu của Δ (hoặc Δ') theo bảng.
- Giải từng bất phương trình theo m, lấy giao.
- Hợp kết quả bước 2 và bước 4. Thử lại bằng một giá trị m ở biên và một giá trị ở ngoài.
Ví dụ 1: (m − 1)x² − 2(m − 1)x + 2 > 0 với mọi x
Trường hợp a = 0
m = 1: f(x) = 0·x² − 0·x + 2 = 2 > 0 với mọi x. m = 1 thoả mãn. Lưu ý ở đây b cũng bằng 0 nhờ có nhân tử (m − 1); nếu b không triệt tiêu thì trường hợp a = 0 đã bị loại.
Trường hợp a ≠ 0
Cần a = m − 1 > 0, tức m > 1. Và Δ' = (m − 1)² − 2(m − 1) = (m − 1)(m − 1 − 2) = (m − 1)(m − 3) < 0, tức 1 < m < 3. Giao lại: 1 < m < 3.
Kết luận
Hợp hai trường hợp: 1 ≤ m < 3.
Thử lại
m = 2: f(x) = x² − 2x + 2 = (x − 1)² + 1 ≥ 1 > 0. Đúng.
m = 3 (biên, bị loại): f(x) = 2x² − 4x + 2 = 2(x − 1)², bằng 0 tại x = 1. Không thoả "> 0 với mọi x". Loại là đúng.
m = 0 (ngoài khoảng): f(x) = −x² + 2x + 2, tại x = 10 được −100 + 20 + 2 = −78 < 0. Không thoả. Đúng.
Đối chiếu: khi a = 0 mà b ≠ 0 thì phải loại
Đổi đề một chút: tìm m để (m + 1)x² − 2mx + 2m > 0 với mọi x.
m = −1: biểu thức thành 2x − 2. Đây là đường thẳng xiên, âm khi x < 1 (chẳng hạn x = 0 cho −2). Không thoả, m = −1 bị loại. Khác hẳn ví dụ 1, vì lần này hệ số b = −2m không triệt tiêu cùng a.
m ≠ −1: cần m + 1 > 0, tức m > −1, và Δ' = m² − 2m(m + 1) = −m² − 2m < 0 ⇔ m(m + 2) > 0 ⇔ m < −2 hoặc m > 0. Giao với m > −1: m > 0.
Thử lại m = 1: 2x² − 2x + 2 có Δ' = 1 − 4 = −3 < 0 và a = 2 > 0, luôn dương. Đúng. Thử m = −1/2: (1/2)x² + x − 1, tại x = 0 bằng −1 < 0. Không thoả, đúng với việc −1/2 nằm ngoài đáp số.
Ví dụ 2: x² − 2mx + 2m + 3 ≥ 0 với mọi x
a = 1 > 0 không chứa m. Chỉ cần Δ' = m² − (2m + 3) = m² − 2m − 3 = (m + 1)(m − 3) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ m ≤ 3.
Ở đây có dấu bằng ở cả hai biên vì yêu cầu là "≥ 0", cho phép parabol tiếp xúc trục hoành.
Thử lại: m = 3 cho x² − 6x + 9 = (x − 3)² ≥ 0. Đúng (bằng 0 tại x = 3 vẫn được). m = 4 cho x² − 8x + 11, tại x = 4 được 16 − 32 + 11 = −5 < 0. Không thoả, đúng với việc m = 4 nằm ngoài khoảng. m = −1 cho x² + 2x + 1 = (x + 1)² ≥ 0. Đúng.
Ví dụ 3: tìm m để bất phương trình mx² − 2mx − 1 ≥ 0 vô nghiệm
Chuyển câu hỏi
"mx² − 2mx − 1 ≥ 0 vô nghiệm" ⇔ không có x nào làm biểu thức ≥ 0 ⇔ mx² − 2mx − 1 < 0 với mọi x.
Giải
m = 0: biểu thức là −1 < 0 với mọi x. Nhận.
m ≠ 0: cần a = m < 0 và Δ' = m² − m·(−1) = m² + m = m(m + 1) < 0 ⇔ −1 < m < 0. Giao với m < 0: −1 < m < 0.
Hợp lại: −1 < m ≤ 0.
Thử lại
m = −1/2: biểu thức −x²/2 + x − 1 = −(x² − 2x + 2)/2 = −[(x − 1)² + 1]/2 < 0 với mọi x. Bất phương trình ≥ 0 vô nghiệm. Đúng.
m = −1 (biên, bị loại): biểu thức −x² + 2x − 1 = −(x − 1)², bằng 0 tại x = 1. Vậy x = 1 là nghiệm của bất phương trình ≥ 0, không còn "vô nghiệm". Loại là đúng.
Bảng kết luận biện luận
| Bài toán | Trường hợp a = 0 | Trường hợp a ≠ 0 | Đáp số |
|---|---|---|---|
| (m − 1)x² − 2(m − 1)x + 2 > 0 ∀x | m = 1: nhận | 1 < m < 3 | 1 ≤ m < 3 |
| (m + 1)x² − 2mx + 2m > 0 ∀x | m = −1: loại | m > 0 | m > 0 |
| x² − 2mx + 2m + 3 ≥ 0 ∀x | không xảy ra | −1 ≤ m ≤ 3 | −1 ≤ m ≤ 3 |
| mx² − 2mx − 1 ≥ 0 vô nghiệm | m = 0: nhận | −1 < m < 0 | −1 < m ≤ 0 |
Lỗi hay gặp
- Quên trường hợp a = 0, ra đáp số 1 < m < 3 thay vì 1 ≤ m < 3 ở ví dụ 1. Đây là lỗi bị trừ điểm nhiều nhất.
- Nhầm Δ < 0 với Δ ≤ 0: bất đẳng thức chặt (>, <) đi với Δ < 0; không chặt (≥, ≤) đi với Δ ≤ 0. Thử biên như ví dụ 1 và 2 là cách tự kiểm nhanh nhất.
- Chỉ ghi Δ < 0, quên điều kiện dấu của a. Với a < 0 và Δ < 0, tam thức âm với mọi x, ngược với yêu cầu.
- Phủ định sai khi gặp "vô nghiệm": "f(x) ≥ 0 vô nghiệm" là "f(x) < 0 với mọi x", không phải "f(x) ≤ 0 với mọi x". Dấu bằng phải đi theo phép phủ định.
- Nhận a = 0 khi b ≠ 0: nếu đặt a = 0 mà còn hạng tử bậc nhất thì f(x) đổi dấu, phải loại.
- Nhầm sang bài "đúng với mọi x thuộc một khoảng". Điều kiện a > 0, Δ < 0 chỉ dành cho mọi x ∈ ℝ. Trên một khoảng thì cách hay dùng là cô lập tham số và xét hàm số, thuộc danh mục biện luận bằng hàm số.
Dùng vào đâu
- Thi cử: dạng "tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x" và "tìm m để bất phương trình vô nghiệm" xuất hiện thường xuyên trong kiểm tra lớp 10 và là bước con trong các bài về tập xác định ℝ của hàm số có căn, như y = √(x² − 2mx + 2m + 3).
- Bài toán tìm m để hàm số xác định trên ℝ: hàm y = 1/√f(x) xác định với mọi x ⇔ f(x) > 0 với mọi x. Đúng điều kiện của ví dụ 1.
- Logic lượng từ: câu "với mọi x" và "tồn tại x" là hai lượng từ của logic vị từ. Bài toán vô nghiệm ở ví dụ 3 là bài tập phủ định lượng từ đội lốt toán.
Câu hỏi thường gặp
Tam thức bậc hai luôn dương khi nào?
Tam thức ax² + bx + c với a ≠ 0 dương với mọi x khi a > 0 và Δ < 0. Nếu a có thể bằng 0 thì xét thêm: khi a = b = 0 và c > 0, biểu thức là hằng số dương nên cũng thoả.
Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x cần Δ < 0 hay Δ ≤ 0?
Với bất đẳng thức chặt (> 0 hoặc < 0) dùng Δ < 0. Với bất đẳng thức không chặt (≥ 0 hoặc ≤ 0) dùng Δ ≤ 0, vì cho phép tam thức bằng 0 tại một điểm.
Bất phương trình vô nghiệm thì đổi thành gì?
Đổi sang bất phương trình ngược dấu nghiệm đúng với mọi x. Ví dụ f(x) ≥ 0 vô nghiệm tương đương f(x) < 0 với mọi x; f(x) > 0 vô nghiệm tương đương f(x) ≤ 0 với mọi x.
Vì sao phải xét a = 0 trong bài tìm m để tam thức luôn dương?
Vì khi a = 0 biểu thức không còn là tam thức bậc hai, điều kiện a > 0, Δ < 0 không áp dụng được. Nếu khi đó biểu thức là hằng số dương thì giá trị m ấy vẫn thoả và phải có trong đáp số.
Bất phương trình đúng với mọi x thuộc một khoảng thì làm thế nào?
Điều kiện a > 0, Δ < 0 chỉ dành cho toàn bộ ℝ. Với một khoảng cho trước, cách hay dùng là cô lập m về một vế rồi xét giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên khoảng đó.
