Hàm bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d có hai điểm cực trị khi và chỉ khi a ≠ 0 và đạo hàm y′ = 3ax² + 2bx + c có hai nghiệm phân biệt, tức Δ′ = b² − 3ac > 0. Hoành độ hai cực trị x₁, x₂ chính là hai nghiệm của y′ = 0, nên mọi điều kiện kiểu "x₁² + x₂² = 6", "hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung" đều dịch được qua hệ thức Vi-ét. Bước bắt buộc cuối cùng là đối chiếu giá trị m tìm được với điều kiện Δ′ > 0.
Phương pháp chung
- Điều kiện có hai cực trị: a ≠ 0 (nếu a chứa m) và Δ′ > 0. Ghi lại thành một khoảng giá trị của m, gọi là điều kiện (*).
- Viết Vi-ét cho y′ = 0: x₁ + x₂ = −2b/(3a), x₁x₂ = c/(3a).
- Dịch yêu cầu của đề thành phương trình hay bất phương trình theo tổng S = x₁ + x₂ và tích P = x₁x₂ (bảng bên dưới).
- Giải ra m, đối chiếu với (*). Giá trị nào làm Δ′ ≤ 0 thì loại, dù nó thoả phương trình ở bước 3.
- Thử lại bằng cách thay m vào, giải y′ = 0 ra nghiệm cụ thể và kiểm yêu cầu.
Vì sao Δ′ > 0 mà không phải ≥ 0? Khi Δ′ = 0, y′ có nghiệm kép và không đổi dấu khi đi qua nghiệm đó, nên không có cực trị. Đây đúng là trường hợp hàm đơn điệu trên ℝ đã bàn ở bài riêng của danh mục.
Bảng dịch điều kiện thường gặp
| Đề yêu cầu | Dịch thành |
|---|---|
| Có hai điểm cực trị | a ≠ 0 và Δ′ > 0 |
| Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung | x₁x₂ < 0 ⇔ a và c trái dấu (khi đó Δ′ > 0 tự thoả) |
| x₁² + x₂² = k | S² − 2P = k |
| |x₁ − x₂| = k (k > 0) | S² − 4P = k² |
| Hai hoành độ cùng dương | S > 0 và P > 0 (cùng với Δ′ > 0) |
| Hàm đạt cực tiểu tại x = x₀ | y′(x₀) = 0 rồi kiểm y″(x₀) > 0 (hoặc xét dấu y′) |
| Hàm đạt cực đại tại x = x₀ | y′(x₀) = 0 rồi kiểm y″(x₀) < 0 |
Dòng "hai phía trục tung" đáng nhớ: nếu x₁x₂ = c/(3a) < 0 thì 3ac < 0, nên b² − 3ac > 0 chắc chắn. Không cần kiểm Δ′ riêng.
Ví dụ 1: x₁² + x₂² = 6 và cái bẫy x₁² + x₂² = 2
Đề. Cho y = x³ − 3x² + mx − 2. Tìm m để hàm có hai điểm cực trị x₁, x₂ thoả x₁² + x₂² = 6.
Bước 1. y′ = 3x² − 6x + m. Δ′ = 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3. (*)
Bước 2. S = x₁ + x₂ = 6/3 = 2; P = x₁x₂ = m/3.
Bước 3. x₁² + x₂² = S² − 2P = 4 − 2m/3. Cho bằng 6: 4 − 2m/3 = 6 ⇔ −2m/3 = 2 ⇔ m = −3.
Bước 4. m = −3 < 3, thoả (*). Nhận.
Thử lại m = −3
y′ = 3x² − 6x − 3 = 3(x² − 2x − 1), hai nghiệm x = 1 + √2 và x = 1 − √2. Bình phương: (1 + √2)² = 3 + 2√2, (1 − √2)² = 3 − 2√2. Tổng bằng 6. Đúng.
Biến thể có bẫy: đòi x₁² + x₂² = 2
Giải 4 − 2m/3 = 2 ⇔ m = 3. Nhưng m = 3 vi phạm (*): khi đó y′ = 3x² − 6x + 3 = 3(x − 1)², nghiệm kép, hàm không có cực trị nào. Kết luận: không có giá trị m nào. Bài nào bỏ qua bước đối chiếu sẽ ghi đáp án m = 3 và mất trọn điểm.
Nhìn rộng hơn: với hàm này, x₁² + x₂² = 4 − 2m/3 và m < 3, nên x₁² + x₂² luôn lớn hơn 2. Mọi yêu cầu x₁² + x₂² ≤ 2 đều vô nghiệm.
Ví dụ 2: hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung
Đề. Vẫn với y = x³ − 3x² + mx − 2, tìm m để hai điểm cực trị của đồ thị nằm về hai phía của trục tung.
Hai điểm ở hai phía trục tung nghĩa là hoành độ trái dấu: x₁x₂ < 0 ⇔ m/3 < 0 ⇔ m < 0. Điều kiện này đã kéo theo Δ′ = 9 − 3m > 0.
Thử lại m = −3: hoành độ 1 + √2 ≈ 2,41 và 1 − √2 ≈ −0,41, một dương một âm. Đúng.
Thử m = 1 (ngoài đáp án): y′ = 3x² − 6x + 1, tích nghiệm 1/3 > 0, tổng 2 > 0, hai hoành độ cùng dương, cùng nằm bên phải trục tung. Loại, khớp.
Ví dụ 3: diện tích tam giác tạo bởi hai cực trị và gốc toạ độ
Đề. Cho y = x³ − 3mx² + 4m³. Tìm m để đồ thị có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 (O là gốc toạ độ).
y′ = 3x² − 6mx = 3x(x − 2m). Hai nghiệm x = 0 và x = 2m phân biệt ⇔ m ≠ 0. (*)
Toạ độ: A(0; 4m³). B có hoành độ 2m, tung độ 8m³ − 3m·4m² + 4m³ = 8m³ − 12m³ + 4m³ = 0, tức B(2m; 0).
A nằm trên trục tung, B nằm trên trục hoành, nên OAB vuông tại O. Diện tích S = ½·|4m³|·|2m| = 4m⁴.
S = 4 ⇔ m⁴ = 1 ⇔ m = 1 hoặc m = −1. Cả hai thoả m ≠ 0.
Thử lại
m = 1: y = x³ − 3x² + 4. y(0) = 4, y(2) = 8 − 12 + 4 = 0. A(0; 4), B(2; 0), diện tích ½·4·2 = 4. Đúng.
m = −1: y = x³ + 3x² − 4, y′ = 3x(x + 2). y(0) = −4, y(−2) = −8 + 12 − 4 = 0. A(0; −4), B(−2; 0), diện tích ½·4·2 = 4. Đúng.
Ở bài này không cần Vi-ét vì y′ phân tích được thành nhân tử. Nguyên tắc: nghiệm của y′ tính ra gọn thì dùng thẳng toạ độ, chỉ khi nghiệm lẻ mới dùng tổng – tích.
Bảng kết luận biện luận cho y = x³ − 3x² + mx − 2
| Khoảng giá trị m | Số cực trị | Vị trí hai hoành độ cực trị | x₁² + x₂² = 4 − 2m/3 |
|---|---|---|---|
| m < 0 | 2 | trái dấu (hai phía trục tung) | lớn hơn 4 |
| m = 0 | 2 | x = 0 và x = 2 | bằng 4 |
| 0 < m < 3 | 2 | cùng dương | trong khoảng (2; 4) |
| m ≥ 3 | 0 | không có cực trị | không xét |
Bảng này trả lời một lượt nhiều câu: x₁² + x₂² = 6 tại m = −3 (dòng đầu), x₁² + x₂² = 3 tại m = 3/2 (dòng ba), x₁² + x₂² = 2 thì không có m.
Lỗi hay gặp
- Không đối chiếu với Δ′ > 0. Đây là lỗi số một của dạng này, như biến thể x₁² + x₂² = 2 ở Ví dụ 1.
- Dùng Δ′ ≥ 0. Nghiệm kép của y′ không cho cực trị.
- Chỉ giải y′(x₀) = 0 khi đề hỏi "đạt cực đại tại x₀". Với y = x³ − 3x² + mx − 2, y′(2) = 0 cho m = 0. Nhưng y″ = 6x − 6, y″(2) = 6 > 0, nên x = 2 là điểm cực tiểu. Đề hỏi cực đại tại x = 2 thì không có m.
- Nhầm điểm cực trị với giá trị cực trị. "Hai điểm cực trị nằm hai phía trục hoành" là điều kiện về tung độ y₁·y₂ < 0, khác hẳn "hai phía trục tung" (hoành độ trái dấu).
- Quên xét a = 0 khi a chứa m. Khi a = 0 hàm thành bậc hai, có đúng một cực trị, không thoả yêu cầu "hai cực trị".
Dùng vào đâu
- Đề thi lớp 12 và tuyển sinh: dạng cực trị có tham số kết hợp Vi-ét xuất hiện từ mức thông hiểu (có hai cực trị) đến vận dụng cao (diện tích, khoảng cách, góc).
- Liên kết danh mục: Vi-ét và bước đối chiếu điều kiện là kỹ năng chung với bài tìm m để hai nghiệm phương trình bậc hai thoả một hệ thức, thuộc danh mục biện luận phương trình.
- Đồ hoạ và thiết kế đường cong: biết vị trí đỉnh, đáy của đường bậc ba theo tham số giúp điều khiển hình dạng đường cong theo ý muốn.
- Học tiếp: dạng cực trị của hàm trùng phương, nơi ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân.
Câu hỏi thường gặp
Hàm bậc ba có hai cực trị khi nào?
Khi a ≠ 0 và phương trình y′ = 3ax² + 2bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt, tức b² − 3ac > 0. Nếu b² − 3ac ≤ 0 thì hàm đơn điệu trên ℝ và không có cực trị.
Vì sao phải đối chiếu điều kiện Δ′ > 0 sau khi tìm m?
Vì phương trình theo m ở bước Vi-ét được lập với giả thiết x₁, x₂ tồn tại. Giải ra m có thể rơi vào vùng y′ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, lúc đó x₁, x₂ không phải điểm cực trị thật.
Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung khi nào?
Khi hai hoành độ cực trị trái dấu, tức tích x₁x₂ = c/(3a) < 0, hay a và c trái dấu. Điều kiện này tự đảm bảo hàm có hai cực trị.
Làm sao biết x₀ là cực đại hay cực tiểu?
Sau khi có y′(x₀) = 0, tính y″(x₀): âm là cực đại, dương là cực tiểu. Nếu y″(x₀) = 0 thì xét dấu y′ hai bên x₀.
Có cần Vi-ét nếu y′ phân tích được thành nhân tử không?
Không. Nếu nghiệm của y′ = 0 viết gọn theo m, như x = 0 và x = 2m, thì tính thẳng toạ độ hai điểm cực trị sẽ nhanh và ít sai hơn.
