Augustus De Morgan (1806–1871) là nhà toán học Anh đã kéo logic ra khỏi khuôn tam đoạn luận hai nghìn năm tuổi. Ông đưa vào khái niệm "vũ trụ thảo luận", tam đoạn luận với chữ "phần lớn", và đặc biệt là logic quan hệ — thứ Aristotle không xử lý được. Hai luật phủ định "và", "hoặc" mang tên ông chỉ là phần nổi tiếng nhất trong một cuộc đổi mới rộng hơn nhiều, diễn ra cùng thời với George Boole.
Một nhà toán học dạy logic
De Morgan sinh năm 1806 ở Madurai, miền nam Ấn Độ, nơi cha ông làm việc cho Công ty Đông Ấn, và về Anh từ khi còn bé. Ông học ở Trinity College, Cambridge. Năm 1828, mới 22 tuổi, ông trở thành giáo sư toán đầu tiên của Đại học London mới thành lập (sau là University College London). Ông dạy ở đó gần suốt đời, hai lần từ chức vì bất đồng nguyên tắc với nhà trường.
Ông là người thầy nổi tiếng: viết sách giáo khoa số học, đại số, xác suất; hướng dẫn qua thư cho Ada Lovelace học toán; năm 1865 là chủ tịch đầu tiên của Hội Toán học London. Ông cũng thích bắt lỗi những người tự nhận đã "cầu phương hình tròn", và tập hợp chúng trong A Budget of Paradoxes, in năm 1872 sau khi ông mất.
Điểm khác biệt của De Morgan so với các nhà logic trước đó: ông đến với logic từ toán học. Ông nhìn tam đoạn luận như nhà đại số nhìn một phương trình — có thể tổng quát hoá, có thể đổi ký hiệu, có thể hỏi "nếu thay chữ 'mọi' bằng một con số thì sao".
Logic nước Anh đầu thế kỷ 19
Đầu thế kỷ 19, logic ở các đại học Anh gần như đứng im: học thuộc các thức tam đoạn luận, các luật đảo câu. Cuốn Elements of Logic (1826) của Richard Whately làm sống lại sự quan tâm, nhưng khuôn vẫn là của Aristotle. Kant từng nhận xét logic như đã hoàn tất từ Aristotle — và phần lớn người học tin như vậy.
Năm 1847 là năm bước ngoặt: De Morgan xuất bản Formal Logic: or, The Calculus of Inference, Necessary and Probable; cùng năm, George Boole in tập sách mỏng The Mathematical Analysis of Logic. Hai cuốn ra đời giữa một cuộc tranh chấp: nhà triết học Scotland William Hamilton cho rằng De Morgan lấy ý của ông về việc "lượng hoá vị từ" (thêm "mọi", "một số" vào cả vị ngữ). Cuộc cãi qua lại trên báo chí khiến Boole chú ý đến logic và viết cuốn sách của mình. Đại số Boole đã có bài riêng ở wiki logic phổ thông của hệ; ở đây ta theo con đường của De Morgan.
Vũ trụ thảo luận và tên gọi đối lập
Khi nói "không phải người", ta đang nói về cái gì? Mọi thứ không phải người — kể cả cái bàn, con số 7, ngày thứ Hai? De Morgan nhận ra câu hỏi này làm rối các luật đảo câu, và đề xuất: mỗi cuộc thảo luận diễn ra trong một vũ trụ xác định. Trong vũ trụ "học sinh lớp 6A", "không phải đội viên bóng đá" chỉ có nghĩa là các bạn 6A không ở đội bóng — không bao gồm cái bàn.
Từ đó mỗi tên gọi X có một tên đối lập x (ông viết bằng chữ thường) sao cho trong vũ trụ đang xét, mọi thứ hoặc là X hoặc là x, không gì là cả hai. Nhờ cặp đối lập, De Morgan tăng số dạng câu và luật đảo một cách đối xứng: "Mọi X là Y" tương đương "Mọi y là x" (mọi cái không phải Y thì không phải X).
Ví dụ trong vũ trụ "học sinh lớp 6A": "Mọi bạn đội bóng đều dậy trước 6 giờ" tương đương "Mọi bạn không dậy trước 6 giờ đều không ở đội bóng". Khái niệm "vũ trụ thảo luận" nay là chuẩn trong logic và lý thuyết tập hợp — phần bù của một tập luôn được lấy trong một tập nền.
Hai luật mang tên De Morgan
Trong vũ trụ đang xét, phủ định của "X và Y" là "không X hoặc không Y"; phủ định của "X hoặc Y" là "không X và không Y". Viết bằng ký hiệu hiện đại (¬ là "không", ∧ là "và", ∨ là "hoặc"):
- ¬(p ∧ q) tương đương ¬p ∨ ¬q
- ¬(p ∨ q) tương đương ¬p ∧ ¬q
Ví dụ: phủ định câu "Hôm nay An mang cả áo mưa và mũ" là "Hôm nay An không mang áo mưa hoặc không mang mũ", chứ không phải "không mang cả hai". Như bài về logic Trung Cổ trong danh mục này đã kể, Ockham phát biểu bằng lời các luật này từ thế kỷ 14; tên De Morgan được gắn về sau vì ông đặt chúng vào khung logic hình thức mới. Cách dùng luật cho đúng đã có bài riêng trong danh mục suy diễn của wiki này.
Tam đoạn luận với chữ "phần lớn"
Đây là đóng góp ít người biết mà rất đáng mang về. Tam đoạn luận cổ điển chỉ có "mọi" và "một số", và có luật: từ hai tiền đề bộ phận ("một số…") không suy ra được gì. De Morgan chỉ ra rằng với những lượng cụ thể hơn, lại suy ra được. Ví dụ nổi tiếng của ông: phần lớn Y là X; phần lớn Y là Z; vậy một số X là Z.
Kiểm bằng số (ví dụ tự đặt). Lớp có 30 học sinh. Hơn một nửa lớp (ít nhất 16 bạn) thích bóng đá; hơn một nửa lớp (ít nhất 16 bạn) thích cờ vua. Có chắc có bạn thích cả hai không?
- Giả sử không bạn nào thích cả hai. Khi đó hai nhóm tách rời, tổng số bạn ít nhất là 16 + 16 = 32.
- Nhưng lớp chỉ có 30 bạn. 32 > 30 — mâu thuẫn.
- Vậy có ít nhất một bạn thích cả hai. Chính xác hơn: số bạn thích cả hai ít nhất là 16 + 16 − 30 = 2.
Thử lại với trường hợp xấu nhất: 14 bạn chỉ thích bóng đá, 14 bạn chỉ thích cờ vua, 2 bạn thích cả hai. Tổng 14 + 14 + 2 = 30; số thích bóng đá 14 + 2 = 16; số thích cờ vua 14 + 2 = 16. Khớp đề, và đúng là chỉ còn đúng 2 bạn ở phần chung — không thể ít hơn.
Quy tắc tổng quát mà De Morgan làm rõ: trong n đối tượng, nếu a cái là X và b cái là Z, thì có ít nhất a + b − n cái vừa là X vừa là Z (khi số này dương). Cùng ý với nguyên lý Dirichlet học ở phổ thông. Lưu ý: nếu "phần lớn" chỉ là đúng một nửa (15 và 15), kết luận không còn chắc: 15 + 15 = 30, hai nhóm có thể tách rời hoàn toàn.
Logic quan hệ: đầu ngựa và anh trai của mẹ
De Morgan đưa ra một ví dụ để chỉ chỗ bất lực của tam đoạn luận: "Ngựa là động vật; vậy đầu ngựa là đầu động vật." Ai cũng thấy hiển nhiên, nhưng không thức tam đoạn luận nào suy ra được, vì câu chứa một quan hệ ("đầu của") nối hai vật, không chỉ một tính chất của một vật.
Năm 1860, trong một bài viết về tam đoạn luận và logic quan hệ, ông bắt đầu xây phép tính cho quan hệ. Hai phép ông đưa vào nay là cơ bản:
| Phép | Ý nghĩa | Ví dụ trong gia đình |
|---|---|---|
| Hợp thành hai quan hệ | "R của S của x" | "Anh trai của mẹ của x" = cậu của x |
| Quan hệ đảo | Đổi chiều quan hệ | Đảo của "là cha mẹ của" là "là con của" |
| Phủ định quan hệ | Mọi cặp không có quan hệ đó | "Không quen" là phủ định của "quen" |
Ông cũng để ý những tính chất như "bắc cầu": "cao hơn" có tính bắc cầu (An cao hơn Bình, Bình cao hơn Chi thì An cao hơn Chi), còn "quen" thì không. Charles S. Peirce ở Mỹ tiếp nối hướng này từ năm 1870, và logic quan hệ trở thành một phần của logic vị từ hiện đại, nền của cơ sở dữ liệu quan hệ trong máy tính.
Mốc thời gian
- 1806: De Morgan sinh ở Madurai.
- 1828: giáo sư toán đầu tiên của Đại học London.
- 1838: viết mục từ về phép quy nạp trong toán học cho một bách khoa thư; ông thường được ghi nhận đã phổ biến tên "quy nạp toán học".
- 1847: Formal Logic; tranh chấp với William Hamilton; Boole in The Mathematical Analysis of Logic.
- 1860: bài viết về logic quan hệ.
- 1865: chủ tịch đầu tiên của Hội Toán học London.
- 1871: mất ở London; A Budget of Paradoxes in năm sau.
Dùng vào đâu
- Thi cử: bài "có ít nhất bao nhiêu người thuộc cả hai nhóm" chính là tam đoạn luận "phần lớn" của De Morgan; công thức a + b − n giải nhanh.
- Đọc quy định, viết điều kiện: luôn hỏi "vũ trụ" là gì. "Ai không đăng ký thì không được dự thi" — "ai" ở đây là ai: học sinh khối 9 hay cả trường?
- Lập trình và cơ sở dữ liệu: phủ định điều kiện ghép theo luật De Morgan; phép nối bảng là hợp thành quan hệ.
- Học tiếp: mục "De Morgan" trong MacTutor History of Mathematics; phần về logic thế kỷ 19 trong Stanford Encyclopedia of Philosophy.
Câu hỏi thường gặp
Augustus De Morgan là ai?
Augustus De Morgan (1806–1871) là nhà toán học và nhà logic người Anh, sinh ở Ấn Độ, giáo sư toán đầu tiên của Đại học London. Ông nổi tiếng với hai luật phủ định mang tên mình, cuốn Formal Logic năm 1847 và những bước đầu tiên của logic quan hệ.
De Morgan có phải người đầu tiên tìm ra luật De Morgan không?
Không. Nội dung hai luật đã được William of Ockham phát biểu bằng lời từ thế kỷ 14. De Morgan phát biểu chúng trong khung logic hình thức thế kỷ 19, nên tên ông được gắn vào. Đây là chuyện thường gặp trong lịch sử khoa học.
Vũ trụ thảo luận là gì?
Vũ trụ thảo luận là tập hợp mọi đối tượng mà một cuộc bàn luận đang nói tới. Nhờ cố định vũ trụ, chữ "không phải X" có nghĩa rõ ràng: những thứ trong vũ trụ ấy mà không là X. Khái niệm này do De Morgan đưa vào và nay là chuẩn trong logic, lý thuyết tập hợp.
Vì sao tam đoạn luận không chứng minh được "đầu ngựa là đầu động vật"?
Vì câu này chứa quan hệ "đầu của" nối hai đối tượng, trong khi tam đoạn luận chỉ xử lý các câu dạng "mọi A là B", "một số A là B" về tính chất của một đối tượng. Phải có logic quan hệ, do De Morgan khởi đầu và Peirce, Frege phát triển, mới suy ra được.
De Morgan và Boole khác nhau thế nào?
Cả hai cùng đổi mới logic năm 1847. Boole biến logic thành một thứ đại số với các phép như nhân, cộng trên lớp đối tượng. De Morgan mở rộng tam đoạn luận theo nhiều hướng: vũ trụ thảo luận, lượng cụ thể như "phần lớn", và quan hệ giữa các đối tượng.