Biện luận phương trình chứa căn: bình phương hai vế không thừa nghiệm

Biện luận phương trình chứa căn dạng √f(x) = g(x) theo m dựa trên phép biến đổi tương đương: √f(x) = g(x) ⇔ g(x) ≥ 0 và f(x) = [g(x)]². Bình phương hai vế không sinh nghiệm thừa nếu giữ kèm điều kiện g(x) ≥ 0; điều kiện f(x) ≥ 0 thì không cần viết thêm, vì f(x) = g(x)² đã tự không âm. Việc còn lại là đếm xem phương trình sau khi bình phương có bao nhiêu nghiệm thoả g(x) ≥ 0, với từng giá trị m.

Bài này giải thích vì sao bình phương có thể sinh nghiệm thừa, đi qua ba ví dụ có tham số (một ví dụ đếm nghiệm bằng Vi-ét, một ví dụ hạ bậc bất ngờ, một ví dụ hai căn bằng nhau), và tổng kết các lỗi điều kiện hay gặp.

Vì sao bình phương sinh nghiệm thừa

Từ A = B suy ra A² = B², nhưng chiều ngược lại sai: A² = B² chỉ cho A = B hoặc A = −B. Khi bình phương √f(x) = g(x), phương trình mới f(x) = g(x)² chứa cả nghiệm của √f(x) = −g(x). Những nghiệm đó làm g(x) âm, trong khi vế trái là căn bậc hai, luôn không âm. Chúng là nghiệm thừa.

Ví dụ không tham số: √(x + 2) = x. Bình phương: x + 2 = x², tức x² − x − 2 = 0, nghiệm x = 2 và x = −1. Thử x = −1: √1 = 1, còn vế phải là −1. Sai. Nghiệm −1 là nghiệm của √(x + 2) = −x, được bình phương "kéo vào". Điều kiện x ≥ 0 loại nó ngay.

Về logic: phép biến đổi "bình phương hai vế" là phép hệ quả. Thêm điều kiện g(x) ≥ 0 biến nó thành phép tương đương. Khi biện luận theo m, ta không thể thử lại từng nghiệm cho mọi m, nên phải làm phép tương đương ngay từ đầu.

Phương pháp chung

1. Viết phương trình về dạng √f(x) = g(x) (cô lập căn ở một vế).
2. Chuyển thành hệ: g(x) ≥ 0 và f(x) = g(x)².
3. Biện luận phương trình f(x) = g(x)² (thường là bậc nhất hoặc bậc hai theo x) nhưng chỉ đếm những nghiệm thoả g(x) ≥ 0.
4. Để so nghiệm với một mốc, dùng Vi-ét (đổi biến cho mốc về 0) hoặc so trực tiếp công thức nghiệm.
5. Gom kết luận, thử lại bằng một giá trị m: thay nghiệm vào phương trình gốc có căn.

Ví dụ 1: √(x + m) = x

Biến đổi tương đương

√(x + m) = x ⇔ x ≥ 0 và x + m = x² ⇔ x ≥ 0 và x² − x − m = 0.

Điều kiện x + m ≥ 0 không cần ghi, vì x + m = x² ≥ 0 tự đúng.

Đếm nghiệm không âm

Δ = 1 + 4m. Nghiệm (khi Δ ≥ 0): x = (1 ± √(1 + 4m))/2.

• Nghiệm lớn (1 + √(1 + 4m))/2 luôn ≥ 1/2 > 0: luôn nhận.
• Nghiệm nhỏ (1 − √(1 + 4m))/2 ≥ 0 ⇔ √(1 + 4m) ≤ 1 ⇔ 1 + 4m ≤ 1 ⇔ m ≤ 0.

Cách khác bằng Vi-ét: hai nghiệm phân biệt đều không âm ⇔ Δ > 0, S = 1 > 0, P = −m ≥ 0 ⇔ −1/4 < m ≤ 0. Cùng kết quả.

Kết luận

• m < −1/4: vô nghiệm.
• m = −1/4: một nghiệm x = 1/2.
• −1/4 < m ≤ 0: hai nghiệm.
• m > 0: một nghiệm x = (1 + √(1 + 4m))/2.

Thử lại

m = 2: phương trình bậc hai x² − x − 2 = 0 có nghiệm 2 và −1; chỉ x = 2 thoả x ≥ 0. Kiểm: √4 = 2. Đúng. Công thức nghiệm lớn: (1 + 3)/2 = 2. Khớp.

m = −2/9 (nằm trong khoảng hai nghiệm): x² − x + 2/9 = 0, nghiệm 1/3 và 2/3. Kiểm x = 1/3: √(1/3 − 2/9) = √(1/9) = 1/3. Đúng. Kiểm x = 2/3: √(2/3 − 2/9) = √(4/9) = 2/3. Đúng. Hai nghiệm, khớp.

m = 0: √x = x có nghiệm 0 và 1. Hai nghiệm, khớp với việc m = 0 thuộc nhánh hai nghiệm (nghiệm nhỏ bằng đúng 0 vẫn nhận vì điều kiện là x ≥ 0).

Ví dụ 2: √(x² + mx + 2) = x + 1 — bình phương xong mất bậc hai

Biến đổi

⇔ x ≥ −1 và x² + mx + 2 = x² + 2x + 1 ⇔ x ≥ −1 và (m − 2)x = −1.

Hạng tử x² triệt tiêu, phương trình chỉ còn bậc nhất. Nhiều người không để ý chỗ này và đi tính Δ của một phương trình không còn là bậc hai.

Biện luận

• m = 2: 0x = −1, vô nghiệm.
• m ≠ 2: x = −1/(m − 2) = 1/(2 − m). Cần đối chiếu x ≥ −1.
  • Nếu m < 2: 2 − m > 0 nên x > 0 ≥ −1. Luôn nhận.
  • Nếu m > 2: 2 − m < 0, điều kiện 1/(2 − m) ≥ −1 tương đương (nhân hai vế với số âm 2 − m, đổi chiều) 1 ≤ −(2 − m) = m − 2 ⇔ m ≥ 3.

Kết luận

Phương trình có nghiệm (duy nhất) x = 1/(2 − m) khi m < 2 hoặc m ≥ 3; vô nghiệm khi 2 ≤ m < 3.

Thử lại

m = 0: x = 1/2. Vế trái √(1/4 + 2) = √(9/4) = 3/2; vế phải 1/2 + 1 = 3/2. Đúng.

m = 3: x = −1. Vế trái √(1 − 3 + 2) = 0; vế phải 0. Đúng.

m = 5/2 (trong khoảng vô nghiệm): công thức cho x = −2. Vế trái √(4 − 5 + 2) = 1; vế phải −1. Sai, nên x = −2 là nghiệm thừa. Đúng với kết luận vô nghiệm.

Ví dụ 3: hai căn bằng nhau — √(x − 1) = √(m − x)

Với dạng √A = √B, chỉ cần một trong hai biểu thức không âm (cái nào đơn giản hơn thì chọn), vì A = B kéo theo biểu thức kia cũng không âm.

⇔ x − 1 ≥ 0 và x − 1 = m − x ⇔ x ≥ 1 và x = (m + 1)/2.

Điều kiện (m + 1)/2 ≥ 1 ⇔ m ≥ 1. Kết luận: m ≥ 1 thì có nghiệm duy nhất x = (m + 1)/2; m < 1 thì vô nghiệm.

Thử lại: m = 3 cho x = 2, √1 = √1. Đúng. m = 0 cho x = 1/2, khi đó √(−1/2) không xác định, nên m = 0 bị loại là đúng.

Bảng kết luận biện luận

Lỗi hay gặp

• Bình phương mà không giữ điều kiện g(x) ≥ 0. Đây là nguồn nghiệm thừa số một, như x = −2 ở ví dụ 2 khi m = 5/2.
• Thêm điều kiện thừa f(x) ≥ 0 rồi giải một bất phương trình phức tạp không cần thiết. Không sai về đáp số, nhưng tốn công và dễ tính nhầm.
• Không để ý hạng tử bậc cao triệt tiêu sau khi bình phương, như ví dụ 2, rồi tính Δ vô nghĩa.
• Nhân bất phương trình với biểu thức chứa m mà không xét dấu: 1/(2 − m) ≥ −1 phải tách hai trường hợp 2 − m dương, âm.
• Bình phương khi căn chưa đứng riêng một vế, ví dụ √(x + 1) + x = 3 mà bình phương ngay hai vế. Cô lập căn trước: √(x + 1) = 3 − x.
• Loại nhầm nghiệm bằng đúng mốc: điều kiện là g(x) ≥ 0, nên nghiệm làm g(x) = 0 vẫn nhận (như x = 0 ở ví dụ 1 khi m = 0, x = −1 ở ví dụ 2 khi m = 3).

Dùng vào đâu

• Thi cử: phương trình chứa căn có tham số là dạng hay ra trong đề học sinh giỏi và kiểm tra lớp 10. Biến đổi tương đương đúng là đủ điểm trình bày, thiếu điều kiện là mất điểm dù đáp số tình cờ đúng.
• Thói quen kiểm phép biến đổi: mỗi phép biến đổi trong bài giải nên tự gắn nhãn "tương đương" hay "hệ quả". Phép hệ quả thì bắt buộc thử lại hoặc đối chiếu điều kiện.
• Liên hệ: phương trình chứa ẩn ở mẫu cũng có cùng vấn đề nghiệm thừa. Còn cách nhìn bằng đồ thị (cắt đồ thị y = √(x + m) với đường y = x) thuộc danh mục biện luận bằng hàm số.