Frege và Begriffsschrift năm 1879: ngày logic hiện đại ra đời

Begriffsschrift ("Ký tự khái niệm") là cuốn sách mỏng Gottlob Frege in ở Halle năm 1879, thường được coi là mốc ra đời của logic hiện đại. Lần đầu tiên có một hệ thống xử lý được cả các từ nối "nếu… thì", "không" lẫn các lượng từ "mọi", "có một" lồng vào nhau tuỳ ý, với tiên đề và quy tắc suy luận được nêu rõ từng cái. Nói "ngày ra đời" là cách nói gọn: Boole, De Morgan, Peirce cũng góp phần, nhưng phần cốt lõi của logic vị từ ngày nay thì bắt đầu từ cuốn sách này.

Frege là ai

Gottlob Frege (1848–1925) sinh ở Wismar, miền bắc nước Đức, học toán và nhận bằng tiến sĩ ở Göttingen năm 1873, rồi dạy toán ở Đại học Jena gần như suốt sự nghiệp. Ông sống lặng lẽ, ít học trò, ít người đọc. Mục tiêu cả đời của ông là chứng minh số học có thể rút ra hoàn toàn từ logic. Muốn vậy, ông cần một công cụ suy luận chặt đến mức không lọt một bước ngầm nào — thứ mà ngôn ngữ thường và cả logic thời đó không cho được. Begriffsschrift là công cụ ấy.

Phụ đề cuốn sách nói rõ ý đồ: một ngôn ngữ công thức của tư duy thuần tuý, mô phỏng theo ngôn ngữ của số học. Trong lời tựa, Frege nhắc tới ước mơ ký tự phổ quát của Leibniz (có bài riêng trong danh mục này) và ví ngôn ngữ của ông với chiếc kính hiển vi: không tiện bằng mắt thường cho việc hằng ngày, nhưng sắc bén hơn hẳn khi cần nhìn kỹ.

Bước thứ nhất: thay "chủ ngữ – vị ngữ" bằng "hàm – đối số"

Logic từ Aristotle phân tích câu thành chủ ngữ và vị ngữ: "Socrates / là người". Frege lấy ý từ toán học: một biểu thức có chỗ trống như "___ là số chẵn" là một hàm; điền vào chỗ trống một đối số thì được giá trị. Điền 4 được một câu đúng, điền 7 được một câu sai. Với Frege, khái niệm chính là hàm cho ra giá trị đúng hoặc sai.

Lợi ích lớn nhất hiện ra với những hàm có hai chỗ trống: "___ cao hơn ___", "___ là bạn thân của ___". Đây là quan hệ — thứ tam đoạn luận không nắm được (xem bài về De Morgan trong danh mục này). Trong khung hàm – đối số, tính chất và quan hệ được xử lý cùng một cách.

Frege cũng chỉ ra rằng chủ ngữ ngữ pháp có thể đánh lừa: "Quân Hy Lạp đánh bại quân Ba Tư ở Plataea" và "Quân Ba Tư bị quân Hy Lạp đánh bại ở Plataea" khác chủ ngữ nhưng nói cùng một điều, nên logic không nên phụ thuộc vào việc chọn chủ ngữ.

Bước thứ hai: lượng từ và biến có thể lồng nhau

Phát minh quan trọng nhất là cách viết tính phổ quát ("mọi") bằng một biến bị ràng buộc, có phạm vi rõ ràng. Ngày nay ta viết ∀x ("với mọi x") và ∃x ("có ít nhất một x"); ký hiệu của Frege khác (ông vẽ một chỗ lõm trên nét ngang), nhưng ý tưởng là một. "Có một" được định nghĩa qua "mọi" và "không": "có x thoả P" nghĩa là "không phải mọi x đều không thoả P".

Sức mạnh thấy rõ khi có nhiều lượng từ. So sánh hai câu:

• (1) "Mọi học sinh đều có một người bạn thân." Viết: ∀x ∃y (y là bạn thân của x).
• (2) "Có một người là bạn thân của mọi học sinh." Viết: ∃y ∀x (y là bạn thân của x).

Chỉ đổi thứ tự hai lượng từ mà nghĩa khác hẳn. Thử với một nhóm ba bạn (ví dụ tự đặt): bạn thân của An là Bình, của Bình là Chi, của Chi là An.

Một ví dụ toán học: "Với mọi số tự nhiên x, có số tự nhiên y lớn hơn x" (∀x ∃y, y > x) là đúng — cho x = 5 thì chọn y = 6, và cứ chọn y = x + 1. Còn "Có số tự nhiên y lớn hơn mọi số tự nhiên x" (∃y ∀x, y > x) là sai — với bất cứ y nào, chọn x = y thì y > y không đúng. Logic tam đoạn luận không có cách nào phân biệt rạch ròi hai câu này; logic của Frege làm được bằng thứ tự ký hiệu.

Đây không phải chuyện bắt bẻ chữ: định nghĩa chặt chẽ giới hạn của dãy số (gặp trong sách nâng cao và năm nhất đại học) có dạng "với mọi ε > 0, tồn tại N sao cho…". Đổi chỗ "với mọi" và "tồn tại" là thành một khái niệm khác.

Bước thứ ba: tiên đề và quy tắc, không bước nào ngầm

Phần hai của Begriffsschrift trình bày một hệ tiên đề: vài công thức được nhận là xuất phát điểm, cùng các quy tắc biến đổi, trong đó quy tắc chính là modus ponens (từ "A" và "nếu A thì B" suy ra "B") và phép thay thế. Mọi định lý sau đó đều được rút ra từng dòng, ghi rõ dòng nào từ đâu. Về sau người ta chứng minh được một tiên đề trong hệ của ông là thừa — có thể suy từ các tiên đề còn lại — nhưng hệ vẫn đầy đủ cho logic mệnh đề.

Frege cũng là người đưa vào dấu "⊢" để phân biệt nêu ra một nội dung với khẳng định nó là đúng. Dấu này còn sống trong logic ngày nay.

Phần ba dùng hệ thống để định nghĩa thuần logic khái niệm "tổ tiên" của một quan hệ: từ quan hệ "là cha mẹ của", định nghĩa "là tổ tiên của" mà không cần nói "và cứ thế mãi". Từ đây, phép quy nạp toán học có thể được giải thích bằng logic thuần tuý — bước đầu cho dự án số học của ông.

So với logic trước đó

Một cuốn sách gần như không ai đọc

Ký hiệu của Frege trải theo hai chiều: các nét ngang, nét dọc nối các công thức thành hình cây trên trang giấy. Nó chính xác nhưng khó in, khó đọc. Các bài điểm sách đương thời, trong đó có bài của nhà logic Ernst Schröder, phần lớn chê ký hiệu rườm rà hoặc cho rằng nó chẳng hơn gì Boole. Ở Mỹ, Charles S. Peirce và học trò O. H. Mitchell đưa ra lượng từ một cách độc lập vào những năm 1880, và chính ký hiệu theo lối Peirce, qua tay Peano, là thứ lan rộng. Ký hiệu ∃, ∀ quen thuộc ngày nay đến từ Peano và các nhà logic đầu thế kỷ 20, không phải từ Frege.

Frege vẫn tiếp tục: Các cơ sở của số học (1884), bài "Về nghĩa và sở chỉ" (1892) với ví dụ sao Mai và sao Hôm — hai tên gọi khác nghĩa nhưng cùng chỉ một thiên thể — và hai tập Các luật cơ bản của số học (1893, 1903). Năm 1902, khi tập hai đang in, Bertrand Russell viết thư chỉ ra hệ tiên đề trong đó dẫn tới mâu thuẫn (nghịch lý Russell, thuộc chuyên đề nghịch lý). Frege thêm phụ lục thừa nhận, đại ý rằng khó có gì đáng buồn hơn với một nhà khoa học là thấy nền móng sụp đúng lúc công trình vừa xong.

Điều đáng nói: lỗi nằm ở tiên đề về tập hợp của tập sách sau, không nằm ở logic của Begriffsschrift. Phần logic vị từ ông dựng năm 1879 vẫn đứng vững, và là thứ sinh viên học hôm nay.

Mốc thời gian

• 1848: Frege sinh ở Wismar.
• 1879: Begriffsschrift in ở Halle.
• 1884: Các cơ sở của số học.
• 1885: Peirce công bố ký hiệu lượng từ của riêng mình.
• 1892: "Về nghĩa và sở chỉ".
• 1893, 1903: hai tập Các luật cơ bản của số học; thư của Russell năm 1902.
• 1910–1913: Whitehead và Russell xuất bản Principia Mathematica, mang tư tưởng của Frege tới đông đảo người đọc.
• 1925: Frege mất; danh tiếng của ông chỉ lớn dần sau đó.

Dùng vào đâu

• Học toán: đọc chậm mọi định nghĩa có "với mọi… tồn tại…", và tự hỏi: đổi thứ tự thì nghĩa đổi thế nào?
• Lập trình và cơ sở dữ liệu: câu truy vấn "tìm lớp mà mọi học sinh đều đã nộp bài" chính là ∀ lồng trong ∃; viết sai thứ tự là ra kết quả sai.
• Đọc lời nói thường: "Ai cũng có một người để nhớ" khác hẳn "Có một người mà ai cũng nhớ".
• Học tiếp: mục "Frege" và "Frege's Logic" của Stanford Encyclopedia of Philosophy; bản dịch tiếng Anh Begriffsschrift có trong tuyển tập From Frege to Gödel do Jean van Heijenoort biên tập (1967).