Lewis Carroll, tác giả Alice ở xứ sở thần tiên, ngoài đời là Charles Lutwidge Dodgson (1832–1898), giảng viên toán ở Christ Church, Oxford, và là một nhà logic thật sự. Ông viết Symbolic Logic phần I (1896) để dạy logic cho người không chuyên, nổi tiếng nhất với những câu đố "chuỗi tiền đề" (sorites): vài câu nghe ngớ ngẩn, nhiệm vụ là rút ra kết luận duy nhất nối chúng lại. Ông còn để lại bài "Rùa nói gì với Achilles" (1895), đến nay vẫn được các nhà triết học bàn.
Dodgson, người dạy toán ở Oxford
Dodgson học ở Christ Church, Oxford, rồi ở lại dạy toán từ 1855 đến 1881. Ông viết sách về hình học Euclid, định thức, các phương pháp bầu chọn, và dùng bút danh Lewis Carroll cho các truyện viết cho trẻ em: Alice ở xứ sở thần tiên (1865), Alice ở xứ sở trong gương (1871).
Từ giữa những năm 1880, ông dồn sức cho logic. Năm 1886, ông in một cuốn sách logic nhỏ dành cho trẻ em, có kèm một tấm bìa kẻ ô và các viên đánh dấu màu đỏ, màu xám để "đặt" các tiền đề lên bìa. Mười năm sau, năm 1896, ông xuất bản Symbolic Logic phần I (Sơ cấp), tái bản nhiều lần chỉ trong khoảng một năm. Ông dự định viết thêm phần II và III nhưng mất đầu năm 1898. Bản in thử của phần II được tìm thấy và nhà triết học W. W. Bartley III công bố năm 1977.
Logic trong hai cuốn Alice
Người đọc truyện Alice thường không để ý rằng nhiều câu đùa chính là bài học logic:
- Ở bữa tiệc trà điên, Alice cãi rằng "nói điều mình nghĩ" cũng như "nghĩ điều mình nói". Gã Thợ Mũ gạt đi, đại ý: thế thì "mình thấy cái mình ăn" cũng là "mình ăn cái mình thấy" à? Đó là bài học về đảo câu: "mọi thứ mình ăn đều là thứ mình thấy" không đồng nghĩa với "mọi thứ mình thấy đều là thứ mình ăn".
- Ở xứ sở trong gương, Vua Trắng hỏi Alice thấy ai trên đường. Alice đáp: chẳng thấy ai cả. Nhà vua khen: ước gì mình có đôi mắt nhìn thấy được "Chẳng Ai", lại ở xa thế! Câu đùa dựa trên việc coi "chẳng ai" như tên một người — đúng cái lỗi mà logic lượng từ của Frege tránh được, vì "không ai" là một lượng từ, không phải một cái tên.
Sơ đồ Carroll: bìa kẻ ô và viên đánh dấu
Thay cho vòng tròn Venn (đã có bài riêng ở wiki logic phổ thông của hệ), Carroll chia một hình vuông thành các ô. Với hai thuộc tính x và y, ta có bốn ô: x và y, x mà không y, y mà không x, không x cũng không y. Đặt viên đỏ vào một ô nghĩa là ô đó có ít nhất một đối tượng; đặt viên xám nghĩa là ô đó trống.
Ví dụ, câu "Không em bé nào biết suy luận logic" (x = em bé, y = biết suy luận logic) được biểu diễn:
| Biết suy luận logic (y) | Không biết suy luận logic (không y) | |
|---|---|---|
| Em bé (x) | Xám — trống | Chưa biết |
| Không phải em bé (không x) | Chưa biết | Chưa biết |
Muốn thêm thuộc tính thứ ba m, Carroll vẽ một hình vuông nhỏ ở giữa, chia mỗi ô thành phần "m" và "không m" — được tám ô. Đặt viên theo hai tiền đề rồi "xoá" m đi, đọc những gì còn lại về x và y, ta có kết luận. Ưu điểm so với vòng tròn Venn: các ô luôn đủ và đều nhau, kể cả ô "không x, không y" — điều mà Carroll chú ý vì ông luôn làm việc trong một "vũ trụ" xác định, theo cách của De Morgan.
Câu đố chuỗi tiền đề (sorites)
Đây là phần nổi tiếng nhất của Symbolic Logic. Mỗi câu đố cho vài tiền đề; mỗi thuật ngữ xuất hiện đúng hai lần, trừ hai thuật ngữ chỉ xuất hiện một lần. Nhiệm vụ: nối các tiền đề thành chuỗi và rút ra kết luận về hai thuật ngữ "lẻ" kia. Để nối được, nhiều khi phải đổi một câu sang dạng phản đảo: "nếu A thì B" tương đương "nếu không B thì không A".
Ví dụ của chính Carroll: em bé và cá sấu
- Em bé thì không biết suy luận.
- Không ai bị coi thường mà lại thuần phục được cá sấu.
- Người không biết suy luận thì bị coi thường.
Giải từng bước. Thuật ngữ: em bé (xuất hiện một lần), biết suy luận (hai lần), bị coi thường (hai lần), thuần phục cá sấu (một lần). Vậy kết luận nối "em bé" với "thuần phục cá sấu".
- Từ (1): em bé → không biết suy luận.
- Từ (3): không biết suy luận → bị coi thường.
- (2) nói: bị coi thường → không thuần phục được cá sấu.
- Nối lại: em bé → không biết suy luận → bị coi thường → không thuần phục được cá sấu.
Kết luận: Em bé không thuần phục được cá sấu. Nội dung vô lý có chủ đích: Carroll muốn người học chú ý vào hình thức chứ không vào việc câu nghe có hợp lý hay không.
Câu đố tự đặt 1: con vật trong giỏ
- Không con mèo nào của nhà này thích tắm.
- Mọi con vật ngủ trong giỏ đều là mèo của nhà này.
- Con nào không thích tắm thì sợ vòi nước.
Thuật ngữ lẻ: "ngủ trong giỏ" và "sợ vòi nước". Chuỗi: ngủ trong giỏ → là mèo nhà này (2) → không thích tắm (1) → sợ vòi nước (3). Kết luận: Mọi con vật ngủ trong giỏ đều sợ vòi nước. Không cần đổi câu nào; chỉ cần xếp lại thứ tự.
Câu đố tự đặt 2: tổ 3 và bản tin thời tiết
- Bạn nào không mang áo mưa thì về nhà bị ướt.
- Bạn nào bị ướt thì hôm sau bị mẹ nhắc.
- Không bạn nào tổ 3 bị mẹ nhắc hôm sau.
- Bạn nào mang áo mưa thì đã nghe bản tin thời tiết.
Giải từng bước. Đếm: tổ 3 (một lần), bản tin thời tiết (một lần), áo mưa (hai lần), bị ướt (hai lần), bị nhắc (hai lần). Kết luận nối "tổ 3" với "nghe bản tin".
- (3): tổ 3 → không bị nhắc.
- (2) đổi sang phản đảo: không bị nhắc → không bị ướt.
- (1) đổi sang phản đảo: không bị ướt → có mang áo mưa.
- (4): mang áo mưa → đã nghe bản tin.
Kết luận: Mọi bạn tổ 3 đều đã nghe bản tin thời tiết. Thử kiểm bằng một bạn cụ thể: giả sử bạn Hà ở tổ 3 mà không nghe bản tin. Theo (4) phản đảo, Hà không mang áo mưa; theo (1), Hà bị ướt; theo (2), hôm sau Hà bị nhắc; nhưng (3) nói không bạn tổ 3 nào bị nhắc — mâu thuẫn. Vậy giả sử sai, kết luận đứng vững.
Tự luyện
Ba tiền đề: (a) Bạn nào ngủ gật trong lớp thì không thuộc bài. (b) Bạn nào sợ bị gọi lên bảng thì không giơ tay phát biểu. (c) Bạn nào không thuộc bài thì sợ bị gọi lên bảng. Kết luận là gì?
Đáp án: Thuật ngữ lẻ là "ngủ gật" và "giơ tay phát biểu". Chuỗi: ngủ gật → không thuộc bài (a) → sợ bị gọi lên bảng (c) → không giơ tay phát biểu (b). Kết luận: Bạn nào ngủ gật trong lớp thì không giơ tay phát biểu.
Rùa nói gì với Achilles
Năm 1895, Carroll đăng trên tạp chí triết học Mind một mẩu đối thoại ngắn. Rùa đưa ra hai tiền đề lấy từ hình học Euclid: (A) hai thứ cùng bằng một thứ thứ ba thì bằng nhau; (B) hai cạnh của tam giác này cùng bằng một thứ thứ ba. Kết luận (Z): hai cạnh ấy bằng nhau. Rùa nhận A và B nhưng chưa chịu nhận Z, và đòi Achilles ghi thêm tiền đề (C): "nếu A và B đúng thì Z phải đúng". Achilles ghi. Rùa lại đòi (D): "nếu A, B và C đúng thì Z phải đúng". Cứ thế, danh sách tiền đề dài mãi mà Z không bao giờ được rút ra.
Bài học các nhà logic rút ra: một quy tắc suy luận (như modus ponens) không phải là một tiền đề nữa để ghi thêm vào danh sách. Quy tắc là cái ta làm với tiền đề. Biến nó thành tiền đề thì lại cần một quy tắc khác để dùng tiền đề mới — lùi vô tận. Đây là lý do các hệ logic hiện đại tách bạch tiên đề với quy tắc suy luận.
Một năm trước đó, ông cũng đăng trên Mind một bài về câu đố "tiệm cắt tóc" liên quan đến câu điều kiện; bài này thuộc chuyên đề nghịch lý nên không bàn ở đây.
Mốc thời gian
- 1832: Charles Lutwidge Dodgson ra đời.
- 1855–1881: dạy toán ở Christ Church, Oxford.
- 1865, 1871: hai cuốn Alice.
- 1886: cuốn sách logic với bìa kẻ ô cho trẻ em.
- 1895: "Rùa nói gì với Achilles" trên tạp chí Mind.
- 1896: Symbolic Logic phần I.
- 1898: Dodgson mất, phần II còn dang dở.
- 1977: W. W. Bartley III công bố phần II, trong đó có một "phương pháp cây" để kiểm suy luận mà giới nghiên cứu thấy gần với các phương pháp hiện đại.
Dùng vào đâu
- Luyện thi: các bài "từ các mệnh đề sau, suy ra điều gì" trong đề trắc nghiệm tư duy thường là sorites rút gọn. Mẹo: đếm số lần mỗi thuật ngữ xuất hiện, tìm hai thuật ngữ lẻ, rồi đổi câu sang phản đảo khi cần.
- Dạy con: sorites với nội dung vui (cá sấu, mèo sợ nước) là cách tốt để trẻ lớn tập suy luận theo hình thức, tách khỏi việc câu nghe có thật hay không.
- Học tiếp: Symbolic Logic phần I đã hết bản quyền, có thể tìm đọc bản gốc tiếng Anh trên các thư viện số; bản của Bartley (1977) có thêm phần II và chú giải.
Câu hỏi thường gặp
Lewis Carroll có phải nhà logic không?
Có. Lewis Carroll là bút danh của Charles Lutwidge Dodgson, giảng viên toán ở Oxford. Ông viết Symbolic Logic phần I (1896), một cuốn sách logic cho trẻ em năm 1886 và bài "Rùa nói gì với Achilles" (1895). Các nhà logic hiện đại vẫn nhắc đến ông, nhất là về sorites và mối quan hệ giữa tiền đề với quy tắc suy luận.
Sorites là gì?
Sorites là chuỗi tiền đề nối tiếp nhau để đi tới một kết luận, như "A thì B, B thì C, C thì D, vậy A thì D". Trong câu đố của Carroll, các tiền đề bị xáo trộn và đôi khi phải đổi sang phản đảo mới nối được. Mỗi câu đố đều có một kết luận nối hai thuật ngữ chỉ xuất hiện một lần.
Rùa nói gì với Achilles có ý nghĩa gì?
Mẩu đối thoại chỉ ra rằng nếu coi quy tắc suy luận như một tiền đề nữa, ta sẽ phải thêm tiền đề vô tận mà không bao giờ rút ra được kết luận. Bài học là quy tắc suy luận phải được tách khỏi tiền đề — điều các hệ logic hiện đại đều làm.
Sơ đồ Carroll khác sơ đồ Venn thế nào?
Sơ đồ Venn dùng các vòng tròn giao nhau, còn sơ đồ Carroll chia một hình vuông thành các ô đều nhau cho mọi tổ hợp thuộc tính, kể cả ô "không thuộc tính nào". Carroll dùng viên đỏ để đánh dấu ô có đối tượng và viên xám cho ô trống.
Symbolic Logic phần II được xuất bản khi nào?
Carroll mất năm 1898 khi phần II còn dang dở. Bản in thử được tìm thấy và W. W. Bartley III công bố năm 1977, kèm phần I và chú giải. Phần II có các câu đố khó hơn và một phương pháp dạng cây để kiểm suy luận.