Hàm trùng phương y = ax⁴ + bx² + c có ba điểm cực trị khi và chỉ khi a·b < 0, và ba điểm cực trị đó tạo thành tam giác vuông cân khi và chỉ khi b³ = −8a. Tam giác luôn cân tại điểm cực trị nằm trên trục tung nhờ tính đối xứng của đồ thị, nên "vuông cân" chỉ còn là "vuông tại đỉnh đó". Bài này dựng công thức từ đầu bằng tích vô hướng, rồi áp vào ví dụ có số cụ thể và thử lại.
Vì sao ba cực trị luôn tạo tam giác cân
Hàm trùng phương chỉ chứa luỹ thừa chẵn của x, nên f(−x) = f(x): đồ thị đối xứng qua trục tung. Đạo hàm:
y′ = 4ax³ + 2bx = 2x(2ax² + b).
y′ = 0 khi x = 0 hoặc x² = −b/(2a). Phương trình sau có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi −b/(2a) > 0, tức a và b trái dấu. Khi đó có ba điểm cực trị:
- A(0; c) nằm trên trục tung;
- B(−u; c − h) và C(u; c − h), với u = √(−b/(2a)) và h = b²/(4a).
Tung độ của B, C tính như sau: thay x² = −b/(2a) vào hàm, y = a·b²/(4a²) + b·(−b/(2a)) + c = b²/(4a) − b²/(2a) + c = c − b²/(4a).
B và C đối xứng nhau qua trục tung, nên AB = AC: tam giác ABC luôn cân tại A. Nếu a·b ≥ 0 thì chỉ có một cực trị tại x = 0 và không có tam giác nào.
Dựng điều kiện vuông cân: b³ = −8a
Tam giác cân tại A, nên vuông cân ⇔ vuông tại A ⇔ hai vectơ AB và AC vuông góc.
- Vectơ AB = (−u; −h), vectơ AC = (u; −h).
- Tích vô hướng: AB · AC = −u² + h².
Vuông tại A ⇔ h² = u² ⇔ b⁴/(16a²) = −b/(2a).
Nhân hai vế với 16a² (khác 0): b⁴ = −8ab. Vì b ≠ 0 (có ba cực trị), chia cho b: b³ = −8a, hay 8a + b³ = 0.
Làm tương tự cho tam giác đều: cần AB = BC ⇔ u² + h² = 4u² ⇔ h² = 3u², dẫn tới b³ = −24a. Diện tích tam giác: S = ½·BC·|h| = ½·2u·|h| = u·|h|.
Các công thức này nên tự dựng lại được trong hai phút. Thuộc lòng mà quên cách dựng thì gặp đề hỏi góc 120° hay bán kính đường tròn ngoại tiếp là bí.
Phương pháp chung
- Điều kiện ba cực trị: a ≠ 0 và a·b < 0. Nếu a chứa m, xét riêng a = 0 (hàm thành bậc hai, chỉ một cực trị, loại).
- Toạ độ ba điểm: A(0; c), B(−u; c − h), C(u; c − h).
- Dịch yêu cầu: vuông cân ⇔ h² = u² (⇔ b³ = −8a); đều ⇔ h² = 3u² (⇔ b³ = −24a); diện tích S ⇔ u·|h| = S.
- Giải m, đối chiếu điều kiện a·b < 0.
- Thử lại: tính toạ độ ba điểm với m vừa tìm, kiểm tích vô hướng hoặc độ dài cạnh.
Ví dụ 1: y = x⁴ − 2mx² + 1
Đề. Tìm m để đồ thị hàm số y = x⁴ − 2mx² + 1 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân.
a = 1, b = −2m. Ba cực trị ⇔ a·b = −2m < 0 ⇔ m > 0.
Cách 1 — dùng công thức. b³ = −8a ⇔ (−2m)³ = −8 ⇔ −8m³ = −8 ⇔ m³ = 1 ⇔ m = 1. Thoả m > 0.
Cách 2 — tính trực tiếp. y′ = 4x³ − 4mx = 4x(x² − m). Với m > 0, nghiệm x = 0, x = ±√m. Toạ độ: A(0; 1), B(−√m; 1 − m²), C(√m; 1 − m²). AB = (−√m; −m²), AC = (√m; −m²). AB · AC = −m + m⁴. Cho bằng 0: m(m³ − 1) = 0, mà m > 0 nên m = 1. Hai cách cùng kết quả.
Thử lại m = 1
y = x⁴ − 2x² + 1 = (x² − 1)². Cực trị: A(0; 1), B(−1; 0), C(1; 0). AB = (−1; −1), AC = (1; −1), tích vô hướng −1 + 1 = 0. AB = AC = √2. Tam giác vuông cân tại A. Đúng.
Ví dụ 2 và 3: khi hệ số a âm hoặc chứa m
Ví dụ 2: y = −x⁴ + 2(m + 1)x² − m
Đề. Tìm m để ba điểm cực trị của đồ thị tạo thành tam giác vuông cân.
a = −1, b = 2(m + 1). Ba cực trị ⇔ a·b = −2(m + 1) < 0 ⇔ m > −1.
Điều kiện vuông cân: b³ = −8a = 8 ⇔ b = 2 ⇔ 2(m + 1) = 2 ⇔ m = 0. Thoả m > −1.
Thử lại m = 0. y = −x⁴ + 2x², y′ = −4x³ + 4x = −4x(x² − 1). Cực trị tại x = 0 (y = 0) và x = ±1 (y = −1 + 2 = 1). A(0; 0), B(−1; 1), C(1; 1). AB = (−1; 1), AC = (1; 1), tích vô hướng −1 + 1 = 0. Vuông cân tại A. Đúng.
Lưu ý hình dạng: a < 0 nên đồ thị hình chữ M, A là điểm cực tiểu ở giữa, B và C là hai đỉnh cực đại. Công thức b³ = −8a vẫn đúng vì ta không giả định chiều của tam giác.
Ví dụ 3: y = mx⁴ − 2x² + 1
Đề. Tìm m để y = mx⁴ − 2x² + 1 có ba cực trị tạo thành tam giác vuông cân.
Xét m = 0: y = −2x² + 1 là parabol, chỉ có một cực trị. Loại.
Với m ≠ 0: a = m, b = −2. Ba cực trị ⇔ −2m < 0 ⇔ m > 0. Vuông cân: (−2)³ = −8m ⇔ m = 1. Thoả.
Thử lại: m = 1 cho đúng hàm của Ví dụ 1, đã kiểm ở trên.
Bảng kết luận cho họ y = x⁴ − 2mx² + 1
Với m > 0: u = √m, h = m², nên u² = m, h² = m⁴, S = u·h = m²√m.
| Yêu cầu | Phương trình theo m | Kết quả |
|---|---|---|
| Có ba cực trị | −2m < 0 | m > 0 |
| Chỉ một cực trị | −2m ≥ 0 | m ≤ 0 |
| Tam giác vuông cân | m⁴ = m | m = 1 |
| Tam giác đều | m⁴ = 3m | m = ∛3 |
| Diện tích bằng 32 | m²√m = 32 | m = 4 |
Thử lại dòng diện tích: m = 4 cho y = x⁴ − 8x² + 1. Cực trị tại x = 0 (y = 1) và x = ±2 (y = 16 − 32 + 1 = −15). Đáy BC = 4, chiều cao từ A xuống BC là 1 − (−15) = 16. Diện tích ½·4·16 = 32. Đúng.
Thử lại dòng tam giác đều: m = ∛3 thì m³ = 3. AB² = u² + h² = m + m⁴ = m + 3m = 4m, BC² = (2u)² = 4m. Ba cạnh bằng nhau. Đúng.
Lỗi hay gặp
- Quên điều kiện a·b < 0. Phương trình m⁴ = m có cả nghiệm m = 0, nhưng m = 0 chỉ cho một cực trị. Nếu không có bước đối chiếu, đáp án sẽ thừa m = 0.
- Chia cho b mà không ghi b ≠ 0. Bước b⁴ = −8ab ⇒ b³ = −8a cần b ≠ 0, điều này được bảo đảm bởi a·b < 0.
- Nhầm u với u². Hoành độ của B, C là ±√(−b/(2a)), không phải ±(−b/(2a)). Viết nhầm sẽ làm sai cả tích vô hướng lẫn diện tích.
- Nhớ nhầm hằng số. Vuông cân là −8a, đều là −24a. Nhầm hai số này là sai trọn bài; cách an toàn là dựng lại bằng h² = u² và h² = 3u².
- Quên xét a = 0 khi a chứa m, như Ví dụ 3.
Dùng vào đâu
- Đề thi lớp 12: dạng ba cực trị của hàm trùng phương tạo tam giác vuông, đều, có diện tích hay góc cho trước là câu vận dụng quen thuộc trong phần ứng dụng đạo hàm của chương trình phổ thông.
- Rèn cách nối đại số với hình học: bài này dùng tích vô hướng, độ dài vectơ và diện tích — kiến thức hình học toạ độ lớp 10 — để giải một bài giải tích lớp 12.
- Tự ra đề: có bảng kết luận rồi, ai cũng tự đặt được yêu cầu mới, chẳng hạn góc ở đỉnh A bằng 120° (dẫn tới u² = 3h²), rồi giải và thử lại.
- Học tiếp: dạng cực trị hàm bậc ba thoả điều kiện, dùng Vi-ét thay cho toạ độ tường minh.
Câu hỏi thường gặp
Hàm trùng phương có ba cực trị khi nào?
Hàm y = ax⁴ + bx² + c có ba điểm cực trị khi và chỉ khi a và b trái dấu, tức a·b < 0. Khi a·b ≥ 0 (và a, b không đồng thời bằng 0), hàm chỉ có một cực trị tại x = 0.
Công thức ba cực trị tạo tam giác vuông cân là gì?
Điều kiện là b³ = −8a, cùng với a·b < 0. Công thức đến từ việc cho tích vô hướng của hai vectơ từ đỉnh trên trục tung tới hai điểm còn lại bằng 0.
Vì sao tam giác ba cực trị luôn cân?
Vì đồ thị hàm trùng phương đối xứng qua trục tung. Hai điểm cực trị ngoài đối xứng nhau qua trục này, nên cách đều điểm cực trị nằm trên trục tung.
Ba cực trị tạo tam giác đều khi nào?
Khi b³ = −24a và a·b < 0. Ví dụ với y = x⁴ − 2mx² + 1, điều kiện thành m³ = 3, tức m = ∛3.
Diện tích tam giác ba cực trị tính thế nào?
Với u = √(−b/(2a)) và h = b²/(4a), diện tích bằng u·|h|. Với y = x⁴ − 2mx² + 1 và m > 0, diện tích là m²√m.
