Để biện luận số nghiệm của phương trình |f(x)| = m bằng đồ thị, ta vẽ đồ thị y = f(x), giữ nguyên phần nằm trên trục hoành, lật phần nằm dưới trục hoành lên trên (đối xứng qua Ox), rồi đếm giao điểm với đường thẳng y = m. Với dạng f(|x|) = m thì làm khác: giữ phần đồ thị bên phải trục tung, bỏ phần bên trái, rồi lấy đối xứng phần bên phải qua Oy. Hai phép biến đổi này nhìn giống nhau nhưng cho bảng kết luận rất khác, nên phải nhận đúng dạng trước khi vẽ.
Hai phép biến đổi đồ thị cần nhớ
Từ y = f(x) sang y = |f(x)|: lật theo chiều dọc
|f(x)| = f(x) khi f(x) ≥ 0, và = −f(x) khi f(x) < 0. Phần đồ thị nằm trên trục hoành giữ nguyên; phần nằm dưới được thay bằng hình đối xứng của nó qua Ox. Kết quả: đồ thị không bao giờ xuống dưới trục hoành, và những chỗ f cắt trục hoành trở thành những "đáy nhọn" chạm Ox.
Từ y = f(x) sang y = f(|x|): gấp theo chiều ngang
Với x ≥ 0 thì f(|x|) = f(x). Với x < 0 thì f(|x|) = f(−x), giá trị bằng giá trị tại điểm đối xứng bên phải. Vậy: giữ phần đồ thị ứng với x ≥ 0, xoá phần x < 0, rồi vẽ thêm hình đối xứng của phần giữ lại qua Oy. Hàm mới là hàm chẵn.
Câu thần chú: trị tuyệt đối bọc cả hàm thì lật lên; trị tuyệt đối bọc riêng x thì gấp sang.
Phương pháp chung
- Nhận dạng: |f(x)| = m, f(|x|) = m, hay |f(|x|)| = m (làm lần lượt: gấp trước, lật sau).
- Lập bảng biến thiên của f: cực trị, nghiệm của f (chỗ cắt Ox), giới hạn hai đầu.
- Biến đổi đồ thị theo dạng. Ghi lại các mốc mới trên trục tung: với |f| thì các giá trị cực trị âm đổi thành dương, và số 0 trở thành mốc (đáy nhọn).
- Đếm giao điểm với y = m cho từng khoảng giữa các mốc và tại mỗi mốc.
- Kiểm tra chéo bằng đại số: |f(x)| = m (với m > 0) ⇔ f(x) = m hoặc f(x) = −m; đếm nghiệm từng phương trình rồi cộng (hai tập nghiệm rời nhau vì m ≠ −m).
- Thử lại với giá trị m cụ thể.
Với m < 0, phương trình |f(x)| = m vô nghiệm ngay, vì vế trái không âm. Với m = 0, |f(x)| = 0 ⇔ f(x) = 0.
Ví dụ 1: khởi động với parabol |x² − 4x + 3| = m
f(x) = x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3), cắt Ox tại x = 1 và x = 3, đỉnh (2; −1). Phần giữa x = 1 và x = 3 nằm dưới trục hoành. Lật lên: đỉnh (2; −1) thành (2; 1), hai điểm (1; 0), (3; 0) thành đáy nhọn. Đồ thị |f| có hình chữ W với "mũ" ở giữa cao 1.
Các mốc: 0 và 1.
| m | f(x) = m | f(x) = −m | Số nghiệm của |f(x)| = m |
|---|---|---|---|
| m < 0 | vô nghiệm vì |f| ≥ 0 | 0 | |
| m = 0 | f(x) = 0: x = 1, x = 3 | 2 | |
| 0 < m < 1 | 2 | 2 | 4 |
| m = 1 | 2 | 1 (x = 2) | 3 |
| m > 1 | 2 | 0 | 2 |
Thử lại m = 1: f(x) = 1 ⇔ x² − 4x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ± √2; f(x) = −1 ⇔ (x − 2)² = 0 ⇔ x = 2. Ba nghiệm phân biệt. Đúng.
Thử lại m = 1/2: x² − 4x + 2,5 = 0 có Δ′ = 4 − 2,5 > 0; x² − 4x + 3,5 = 0 có Δ′ = 4 − 3,5 > 0. Mỗi phương trình hai nghiệm, tổng 4. Đúng.
Ví dụ 2: hàm bậc ba |x³ − 3x² + 2| = m
Bảng biến thiên của f(x) = x³ − 3x² + 2. f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2). Cực đại f(0) = 2, cực tiểu f(2) = 8 − 12 + 2 = −2. Nghiệm của f: f(1) = 0, nên f(x) = (x − 1)(x² − 2x − 2), ba nghiệm x = 1 và x = 1 ± √3.
Lật. Phần dưới Ox gồm đoạn từ x = 1 − √3 trở về −∞ (nhánh trái đi xuống −∞) và đoạn giữa x = 1 và x = 1 + √3 (chứa đáy (2; −2)). Sau khi lật: nhánh trái đi lên +∞, đáy (2; −2) thành đỉnh (2; 2). Đồ thị |f| có hai đỉnh cao 2 (tại x = 0 và x = 2), ba đáy nhọn chạm Ox, hai nhánh ngoài đi lên +∞.
Các mốc: 0 và 2.
| m | Số nghiệm f(x) = m | Số nghiệm f(x) = −m | Số nghiệm của |f(x)| = m |
|---|---|---|---|
| m < 0 | — | 0 | |
| m = 0 | f(x) = 0 có 3 nghiệm | 3 | |
| 0 < m < 2 | 3 | 3 | 6 |
| m = 2 | 2 | 2 | 4 |
| m > 2 | 1 | 1 | 2 |
Cột hai và ba đọc từ bảng biến thiên của f: phương trình f(x) = k có 3 nghiệm khi −2 < k < 2, có 2 nghiệm khi k = ±2, có 1 nghiệm khi |k| > 2.
Thử lại m = 2
f(x) = 2 ⇔ x³ − 3x² = 0 ⇔ x²(x − 3) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3. f(x) = −2 ⇔ x³ − 3x² + 4 = 0 ⇔ (x − 2)²(x + 1) = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = −1. Bốn nghiệm phân biệt: −1, 0, 2, 3. Đúng.
Thử lại m = 1
f(x) = 1 ⇔ x³ − 3x² + 1 = 0: g(−1) = −3, g(0) = 1, g(1) = −1, g(3) = 1, đổi dấu ba lần, ba nghiệm. f(x) = −1 ⇔ x³ − 3x² + 3 = 0: h(−1) = −1, h(0) = 3, h(2) = −1, h(3) = 3, cũng ba nghiệm. Tổng sáu. Đúng.
Ví dụ 3: dạng f(|x|) = m — gấp chứ không lật
Đề. Biện luận số nghiệm của |x|³ − 3x² + 2 = m.
Vì x² = |x|², vế trái chính là f(|x|) với f(x) = x³ − 3x² + 2 ở Ví dụ 2.
Phần x ≥ 0 của f: bắt đầu từ f(0) = 2, giảm xuống f(2) = −2, rồi tăng lên +∞. Gấp sang trái: đồ thị mới có đỉnh (0; 2) ở giữa, hai đáy (±2; −2), hai nhánh ngoài lên +∞ — hình chữ W.
Đếm: mỗi nghiệm dương x₀ của f(x) = m cho hai nghiệm ±x₀; nghiệm x = 0 chỉ tính một lần.
| m | Nghiệm của f(x) = m với x ≥ 0 | Số nghiệm của f(|x|) = m |
|---|---|---|
| m < −2 | không có | 0 |
| m = −2 | x = 2 | 2 |
| −2 < m < 2 | hai nghiệm dương | 4 |
| m = 2 | x = 0 và x = 3 | 3 |
| m > 2 | một nghiệm dương | 2 |
Thử lại m = 0: nghiệm của f là 1, 1 + √3, 1 − √3; chỉ hai số đầu dương. Vậy |x| = 1 hoặc |x| = 1 + √3, bốn nghiệm. Đúng.
So với Ví dụ 2, cùng một f nhưng ở đây m âm vẫn có nghiệm (dạng f(|x|) không bị ép không âm), còn số nghiệm lớn nhất là 4 thay vì 6.
Lỗi hay gặp
- Nhầm |f(x)| với f(|x|). Lật thay vì gấp (hay ngược lại) cho bảng kết luận sai hoàn toàn, như so sánh Ví dụ 2 và 3.
- Quên mốc 0. Với |f(x)| = m, m = 0 là một trường hợp riêng (số nghiệm bằng số nghiệm của f), không gộp được vào 0 < m < …
- Đếm hai lần nghiệm x = 0 khi gấp. Điểm trên trục tung đối xứng với chính nó.
- Quên lật nhánh vô cực. Ở Ví dụ 2, nhánh trái của f đi xuống −∞; sau khi lật nó đi lên +∞ và cắt mọi đường y = m với m > 0.
- Kết luận m âm có nghiệm với |f(x)| = m. Vế trái không âm, nên m < 0 luôn vô nghiệm.
Dùng vào đâu
- Đề thi lớp 12: dạng "phương trình |f(x)| = m có 6 nghiệm" hay "f(|x|) = m có 4 nghiệm" thường cho sẵn bảng biến thiên hoặc đồ thị f, yêu cầu suy ra đồ thị mới. Thuộc hai phép lật và gấp là làm được trong một phút.
- Đếm số giá trị nguyên của m: ở Ví dụ 2, |f(x)| = m có 6 nghiệm khi 0 < m < 2, chỉ một số nguyên là m = 1.
- Đời sống: |f| đo "độ lệch không kể chiều" — sai số đo đạc, khoảng cách tới mức chuẩn. Hỏi "có bao nhiêu thời điểm độ lệch đúng bằng m" là bài |f(x)| = m.
- Học tiếp: bài biện luận số nghiệm bằng đường thẳng y = m trong danh mục này là nền; sau đó có thể thử dạng |f(|x|)| = m, làm gấp trước rồi lật sau.
Câu hỏi thường gặp
Vẽ đồ thị y = |f(x)| thế nào?
Vẽ đồ thị y = f(x), giữ nguyên phần nằm trên trục hoành, lấy đối xứng phần nằm dưới trục hoành qua Ox rồi bỏ phần dưới đi. Đồ thị mới không có điểm nào nằm dưới trục hoành.
y = |f(x)| và y = f(|x|) khác nhau thế nào?
|f(x)| lật phần âm của đồ thị lên trên, kết quả luôn không âm. f(|x|) giữ phần bên phải trục tung rồi lấy đối xứng sang trái, kết quả là hàm chẵn và vẫn có thể nhận giá trị âm.
Phương trình |f(x)| = m có nghiệm khi nào?
Cần m ≥ 0. Khi m = 0, nghiệm là nghiệm của f(x) = 0. Khi m > 0, nghiệm là hợp nghiệm của f(x) = m và f(x) = −m, hai tập này không trùng nhau.
Vì sao |x³ − 3x² + 2| = m có tới 6 nghiệm?
Với 0 < m < 2, cả f(x) = m và f(x) = −m đều có ba nghiệm vì m và −m cùng nằm giữa giá trị cực tiểu −2 và cực đại 2. Ba cộng ba thành sáu.
