Để tìm m sao cho giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của hàm số trên một đoạn bằng một số cho trước, ta tính max, min như bình thường nhưng giữ m trong biểu thức, rồi giải phương trình theo m. Khó ở chỗ vị trí đạt max, min có thể đổi theo m — điểm tới hạn có lúc nằm trong đoạn, có lúc ở ngoài; hàm có lúc tăng, có lúc giảm. Khi đó phải chia trường hợp và đối chiếu từng nghiệm m với điều kiện của trường hợp sinh ra nó.
Phương pháp chung
- Tính đạo hàm và tìm các điểm tới hạn (nghiệm của f′ và điểm f′ không xác định) trong đoạn [a; b].
- Xem m nằm ở đâu:
- Nếu m chỉ cộng thêm vào hàm (dạng f(x) + m), vị trí max, min không đổi theo m. Tính thẳng.
- Nếu m làm thay đổi hình dạng hàm (vị trí đỉnh, chiều biến thiên), chia trường hợp theo m.
- Trong mỗi trường hợp, viết max (hoặc min) là một biểu thức của m, giải phương trình đề cho.
- Đối chiếu: nghiệm m phải nằm trong điều kiện của chính trường hợp đó.
- Thử lại: thay m, tính giá trị tại các điểm tới hạn và hai đầu mút, so với yêu cầu.
Nhắc lại định lý dùng xuyên suốt: hàm liên tục trên đoạn [a; b] luôn đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, và chúng nằm trong số các giá trị tại đầu mút a, b và tại các điểm tới hạn bên trong đoạn.
Ví dụ 1: m cộng thêm — max không đổi chỗ
Đề. Tìm m để giá trị lớn nhất của f(x) = x³ − 3x + m trên đoạn [0; 2] bằng 5.
f′(x) = 3x² − 3, bằng 0 tại x = 1 (thuộc đoạn) và x = −1 (ngoài đoạn, bỏ).
- f(0) = m
- f(1) = 1 − 3 + m = m − 2
- f(2) = 8 − 6 + m = m + 2
Lớn nhất là m + 2 (tại x = 2), nhỏ nhất là m − 2 (tại x = 1), với mọi m. Cho m + 2 = 5 ⇔ m = 3.
Thử lại m = 3: f(0) = 3, f(1) = 1, f(2) = 5. Lớn nhất bằng 5. Đúng.
Ví dụ 2: giá trị lớn nhất của trị tuyệt đối
Đề. Tìm m để giá trị lớn nhất của |x³ − 3x + m| trên [0; 2] bằng 3.
Từ Ví dụ 1, khi x chạy trên [0; 2], f(x) = x³ − 3x + m nhận mọi giá trị trong đoạn [m − 2; m + 2] (hàm liên tục, đạt cả min và max). Giá trị lớn nhất của |f| là số lớn hơn trong hai số |m − 2| và |m + 2|, tức |m| + 2.
Giải thích ngắn: nếu m ≥ 0 thì |m + 2| = m + 2 ≥ |m − 2|; nếu m < 0 thì |m − 2| = 2 − m lớn hơn. Cả hai trường hợp đều bằng |m| + 2.
Cho |m| + 2 = 3 ⇔ m = 1 hoặc m = −1.
Thử lại
m = 1: f nhận giá trị trong [−1; 3], |f| lớn nhất bằng 3 (tại x = 2, f(2) = 3). Đúng.
m = −1: f nhận giá trị trong [−3; 1], |f| lớn nhất bằng 3 (tại x = 1, f(1) = −3). Đúng.
Hệ quả hay: |m| + 2 ≥ 2 với mọi m, đạt 2 khi m = 0. Vậy "giá trị lớn nhất của |f| nhỏ nhất có thể" là 2, khi đoạn giá trị [m − 2; m + 2] nằm cân đối quanh 0. Đề vận dụng cao hay hỏi đúng câu này.
Ví dụ 3: m làm đỉnh parabol di chuyển
Đề. Tìm m để giá trị nhỏ nhất của f(x) = x² − 2mx + 3 trên đoạn [0; 2] bằng −1.
Đỉnh parabol tại x = m. Parabol quay bề lõm lên, nên min nằm ở đỉnh nếu đỉnh thuộc đoạn, còn không thì ở đầu mút gần đỉnh nhất. Ba trường hợp:
| Trường hợp | Min trên [0; 2] | Giải min = −1 | Đối chiếu |
|---|---|---|---|
| m ≤ 0 (đỉnh bên trái đoạn) | f(0) = 3 | 3 = −1, vô lý | không có m |
| 0 < m < 2 (đỉnh trong đoạn) | f(m) = 3 − m² | m² = 4, m = ±2 | cả hai không thuộc (0; 2), loại |
| m ≥ 2 (đỉnh bên phải đoạn) | f(2) = 7 − 4m | m = 2 | thuộc [2; +∞), nhận |
Kết luận: m = 2.
Chú ý: m = 2 xuất hiện ở trường hợp hai nhưng bị loại ở đó vì không thoả 0 < m < 2; nó được nhận ở trường hợp ba. Nếu chia trường hợp mà quên dấu bằng ở biên (viết m > 2 thay vì m ≥ 2), đáp án sẽ biến mất.
Thử lại m = 2: f(x) = x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3). Trên [0; 2]: f(0) = 3, f(2) = 4 − 8 + 3 = −1, đỉnh x = 2 trùng đầu mút. Hàm giảm trên [0; 2], min = −1. Đúng.
Thử m = −2 (bị loại): f(x) = x² + 4x + 3, trên [0; 2] hàm tăng, min = f(0) = 3, không phải −1. Loại đúng.
Ví dụ 4: hàm phân thức, chiều biến thiên đổi theo m
Đề. Tìm m để giá trị nhỏ nhất của y = (x + m)/(x + 1) trên [1; 2] bằng 3.
y′ = (1·1 − m·1)/(x + 1)² = (1 − m)/(x + 1)². Hàm xác định trên [1; 2] với mọi m.
- m < 1: y′ > 0, hàm tăng, min = y(1) = (1 + m)/2. Cho bằng 3: m = 5. Không thoả m < 1, loại.
- m = 1: y = 1 trên đoạn, min = 1 ≠ 3. Loại.
- m > 1: y′ < 0, hàm giảm, min = y(2) = (2 + m)/3. Cho bằng 3: m = 7. Thoả m > 1, nhận.
Kết luận: m = 7.
Thử lại m = 7: y(1) = 8/2 = 4, y(2) = 9/3 = 3. Hàm giảm, min = 3. Đúng.
Thử m = 5 (bị loại): y = (x + 5)/(x + 1), y′ = −4/(x + 1)² < 0, hàm giảm, min = y(2) = 7/3, không phải 3. Đúng là phải loại — m = 5 chỉ "đúng" khi ta giả định sai rằng hàm tăng.
Bảng tổng hợp
| Dạng | Max, min theo m | Yêu cầu | Đáp án |
|---|---|---|---|
| x³ − 3x + m trên [0; 2] | max = m + 2, min = m − 2 | max = 5 | m = 3 |
| |x³ − 3x + m| trên [0; 2] | max = |m| + 2 | max = 3 | m = ±1 |
| x² − 2mx + 3 trên [0; 2] | 3; 3 − m²; 7 − 4m theo vị trí đỉnh | min = −1 | m = 2 |
| (x + m)/(x + 1) trên [1; 2] | (1 + m)/2 nếu m < 1; (2 + m)/3 nếu m > 1 | min = 3 | m = 7 |
Lỗi hay gặp
- Không đối chiếu nghiệm với trường hợp sinh ra nó. Ví dụ 4 sẽ ra thêm m = 5 sai; Ví dụ 3 sẽ nhận thêm m = −2.
- Giả định chiều biến thiên mà không xét dấu đạo hàm theo m. Với hàm phân thức, dấu của ad − bc quyết định max ở đầu nào.
- Lấy điểm tới hạn nằm ngoài đoạn. Ở Ví dụ 1, x = −1 làm f′ = 0 nhưng không thuộc [0; 2], đưa vào so sánh là sai.
- Nhầm max |f| với |max f|. Max của trị tuyệt đối phải so cả max f và min f; giá trị âm lớn về độ lớn có thể thắng.
- Quên dấu bằng ở biên trường hợp, làm rơi đáp án nằm đúng biên như m = 2 ở Ví dụ 3.
Dùng vào đâu
- Đề thi lớp 12: dạng "tìm m để max (min) trên đoạn bằng k" và "max |f| nhỏ nhất" là câu vận dụng, vận dụng cao trong phần giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của chương trình phổ thông.
- Bài toán tối ưu thực tế: chọn tham số thiết kế (độ dày, giá bán, góc nghiêng) sao cho giá trị xấu nhất trong mọi tình huống vẫn chấp nhận được — đó là tư duy "max |f| nhỏ nhất" ở Ví dụ 2.
- Kỹ năng chia trường hợp: nhận ra lúc nào bài cần chia, chia theo cái gì (vị trí đỉnh, dấu đạo hàm), và không quên dấu bằng ở biên là kỹ năng dùng lại ở mọi dạng biện luận.
- Học tiếp: phương pháp cô lập tham số và dạng bất phương trình đúng với mọi x trên đoạn trong danh mục này.
Câu hỏi thường gặp
Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm trên đoạn bằng k làm thế nào?
Tính giá trị tại hai đầu mút và các điểm tới hạn trong đoạn, giữ nguyên m. Xác định biểu thức nào lớn nhất (chia trường hợp nếu nó đổi theo m), cho bằng k, giải ra m rồi đối chiếu với điều kiện của trường hợp.
Vì sao phải chia trường hợp?
Vì m có thể làm đỉnh của đồ thị chạy ra khỏi đoạn, hoặc làm hàm đổi từ tăng sang giảm. Khi đó max, min nằm ở chỗ khác và có công thức khác.
Max của |f(x)| trên đoạn tính thế nào?
Tìm max f = M và min f = N trên đoạn; max |f| bằng số lớn hơn trong |M| và |N|. Với f(x) = x³ − 3x + m trên [0; 2], kết quả là |m| + 2.
Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất đạt min trên đoạn ở đâu?
Nếu hàm xác định trên cả đoạn thì nó đơn điệu, nên min và max nằm ở hai đầu mút. Đầu nào là min phụ thuộc dấu của ad − bc, vì vậy khi có m phải xét dấu này trước.
